পর্যাবৃত্তিক গতি (126 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত গতির (Simple Harmonic Motion) ক্ষেত্রে বস্তুটির ত্বরণ এবং সরণের সমীকরণটি হলো a = -ω2x।

এখানে, ω হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক (Angular frequency)।

আমরা জানি, কৌণিক কম্পাঙ্ক এবং সাধারণ কম্পাঙ্কের (Frequency, f) মধ্যে সম্পর্কটি হলো:
ω = 2πf

অতএব, কম্পাঙ্ক, f = ω / 2π

মূল পয়েন্ট: সরল ছন্দিত গতির ক্ষেত্রে ত্বরণ সর্বদা সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী (যা ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত) এবং উক্ত গতির কম্পাঙ্ক হবে ω/2π।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার ক্ষেত্রে,
যেকোনো সরণে (x) গতিশক্তি, Ek = ½k(A2 - x2)

গতিশক্তি সর্বোচ্চ হবে যখন সরণ শূন্য (x = 0) অর্থাৎ কণাটি সাম্যাবস্থানে থাকে।
সুতরাং, সর্বোচ্চ গতিশক্তি,
Ek(max) = ½k(A2 - 02)
⇒ Ek(max) = kA2/2

(উল্লেখ্য, কণার সর্বোচ্চ গতিশক্তি এর মোট শক্তির সমান হয়)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
উপাত্ত:
বিস্তার, A = 3.0 cm
সর্বোচ্চ বেগ, vmax = 6.24 cm/sec

পর্যায়কাল (T) নির্ণয়:
আমরা জানি, সর্বোচ্চ বেগের সমীকরণ, vmax = ωA
বা, vmax = (2π / T) × A
বা, T = 2πA / vmax

মান বসিয়ে পাই,
T = (2 × 3.1416 × 3.0) / 6.24
বা, T = 18.8496 / 6.24
বা, T ≈ 3.02 sec

সুতরাং, কণাটির পর্যায়কাল 3.02 sec।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
উপাত্ত:
বিস্তার, A = 0.01 m
কম্পাঙ্ক, f = 12 Hz

কৌণিক বেগ নির্ণয়:
ω = 2πf = 2 × π × 12 = 24π rad/s

সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি, সরল ছন্দিত গতির সর্বোচ্চ বেগের সমীকরণ, vmax = ωA
মান বসিয়ে পাই,
vmax = 24π × 0.01
বা, vmax = 0.24 × 3.1416
বা, vmax ≈ 0.75 ms-1
সুতরাং, ববের সর্বোচ্চ বেগ 0.75 ms-1।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, সরল দোলগতিসম্পন্ন বস্তুকণার কৌণিক কম্পাঙ্ক (ω), ভর (m) এবং বল ধ্রুবক (k) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:
ω = √(k/m)
বা, ω = √k / √m
সুতরাং, সঠিক সমীকরণটি হলো ω = √k / √m।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মূল ভাবনা: কৌণিক কম্পাঙ্ক (ω) = কোণ / সময়।
কোণের মাত্রা: কোণ (angle) একটি মাত্রাহীন রাশি। তাই এর মাত্রা [M0L0]।
সময়ের মাত্রা: [T]
অতএব মাত্রা: 1 / [T] = [T-1]।
সুতরাং: কৌণিক কম্পাঙ্কের মোট মাত্রা = [M0L0T-1]।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত গতির ক্ষেত্রে ত্বরণ (a) এবং সরণ (x) এর সম্পর্ক হলো:
a = -ω²x
ত্বরণের মান বিবেচনা করলে, |a| = ω²x
উপরের সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, ত্বরণের মান সরাসরি সরণের সমানুপাতিক।
তাই সরণ (x) যখন সর্বনিম্ন হবে, ত্বরণও (a) তখন সর্বনিম্ন হবে।
সাম্যাবস্থায় বা x = 0 অবস্থানে কণার সরণ সর্বনিম্ন (শূন্য) হয়।
সুতরাং, x = 0 অবস্থানে ত্বরণ সর্বনিম্ন হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, সরল দোলগতিসম্পন্ন বস্তুকণার কৌণিক কম্পাঙ্ক (ω), ভর (m) এবং বল ধ্রুবক (k) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:
ω = √(k/m)
উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই,
ω² = k/m
⇒ k = mω²
সুতরাং, বল ধ্রুবকটি হবে mω²।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, কণার সরণ, x = (6cosωt + 8sinωt) m
এই সমীকরণটিকে সাধারণ স্পন্দন সমীকরণ x = A₁cosωt + A₂sinωt এর সাথে তুলনা করে পাই,
প্রথম বিস্তার, A₁ = 6 m এবং দ্বিতীয় বিস্তার, A₂ = 8 m
যেহেতু sine এবং cosine ফাংশনগুলোর মধ্যে দশা পার্থক্য π/2, তাই লব্ধি বিস্তার (A) হবে এদের ভেক্টর যোগফলের সমান।
লব্ধি বিস্তার, A = √(A₁² + A₂²)
⇒ A = √(6² + 8²)
⇒ A = √(36 + 64)
⇒ A = √100 = 10 m

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল দোলগতি সম্পন্ন কণার সরণের সমীকরণ, x = Asin(ωt)
কণাটির বেগ, v = dx/dt = Aωcos(ωt)
আমরা জানি, গতিশক্তি, E_k = (1/2)mv²
⇒ E_k = (1/2)m[Aωcos(ωt)]²
⇒ E_k = (1/2)mA²ω²cos²(ωt)
ত্রিকোণমিতির সূত্র cos²θ = (1 + cos2θ)/2 ব্যবহার করে পাই,
⇒ E_k = (1/4)mA²ω²[1 + cos(2ωt)]
এখানে, গতিশক্তির সমীকরণে কোণের সহগ হলো 2ω।
যেহেতু মূল গতির কম্পাঙ্ক ω, তাই গতিশক্তির পরিবর্তনের কম্পাঙ্ক হবে এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ 2ω।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত স্পন্দনশীল কণার সাধারণ সরণের সমীকরণ, x = Asin(ωt + δ), যেখানে δ হলো আদি দশা।
শর্তানুযায়ী, কণাটির গতি সরণের সর্বোচ্চ অবস্থান (বিস্তার) থেকে শুরু হয়।
অর্থাৎ, t = 0 সময়ে, কণার সরণ, x = A
সমীকরণে মান বসিয়ে পাই, A = Asin(ω(0) + δ)
⇒ 1 = sin(δ)
⇒ sin(π/2) = sin(δ)
⇒ δ = π/2
সুতরাং, কণাটির আদি দশা π/2।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত স্পন্দনের (SHM) আদর্শ ব্যবকলনীয় সমীকরণটি হলো d²x/dt² + ω²x = 0
প্রদত্ত সমীকরণ: 2d²x/dt² + 32x = 0
সমীকরণটির উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
d²x/dt² + 16x = 0
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
ω² = 16
বা, ω = 4 rads⁻¹
সুতরাং, স্পন্দনের কৌণিক কম্পাঙ্ক 4 rads⁻¹।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পর্যায়বৃত্ত গতির ক্ষেত্রে একটি পূর্ণ কম্পন সম্পন্ন হতে যে সময় লাগে তাকে পর্যায়কাল (T) বলে।
একটি পূর্ণ স্পন্দন বা কম্পন সম্পন্ন হলে কণাটি তার আদি অবস্থায় বা সমদশা সম্পন্ন অবস্থায় ফিরে আসে।
কৌণিক সরণের ক্ষেত্রে একটি পূর্ণ স্পন্দন 2π রেডিয়ান বা 360° কোণ তৈরি করে।
তাই, শূন্য দশা (0) এবং একটি পূর্ণ স্পন্দন শেষের দশা (2π) সমতুল্য।
অর্থাৎ, 0 দশা = 2π দশা।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত স্পন্দনশীল কণার সরণের সমীকরণ, x = Asin(ωt)
সাম্যাবস্থায় কণার সরণ, x = 0। অর্থাৎ, Asin(ωt) = 0 ⇒ sin(ωt) = sin(0) ⇒ দশা = 0
সর্বোচ্চ অবস্থানে (বিস্তার) কণার সরণ, x = A। অর্থাৎ, Asin(ωt) = A ⇒ sin(ωt) = 1 ⇒ sin(ωt) = sin(π/2) ⇒ দশা = π/2
অতএব, সর্বোচ্চ অবস্থান ও সাম্যাবস্থার মধ্যে দশা পার্থক্য = π/2 - 0 = π/2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত স্পন্দন বা সরল দোলন গতির ক্ষেত্রে, একটি সরল দোলকের গতি তখনই সরল ছন্দিত স্পন্দন হিসেবে বিবেচিত হয় যখন এর কৌণিক বিস্তার বা সরণ খুব ছোট থাকে।
সাধারণত এই কৌণিক সরণের মান 4° বা এর চেয়ে কম হতে হয়।
কৌণিক সরণ 4°-এর চেয়ে বেশি হলে দোলকের গতি আর সরলরৈখিক থাকে না এবং এটি সরল ছন্দিত গতির শর্ত (F ∝ -x) পুরোপুরি মেনে চলে না।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, সরল দোলকের দোলনকালের সূত্র, T = 2π√(L/g)
যেহেতু g ধ্রুবক, তাই T ∝ √L (অর্থাৎ, দোলনকাল দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক)।
একটি সেকেন্ড দোলকের আদর্শ দোলনকাল T = 2s।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, দোলকটির দোলনকাল বৃদ্ধি পেয়েছে (অর্থাৎ 2s এর চেয়ে বেশি হয়েছে)।
দোলনকাল কমিয়ে পুনরায় 2s করতে হলে, সমানুপাতিক সম্পর্ক অনুযায়ী এর দৈর্ঘ্য (L) কমাতে হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, সরল দোলকের দোলনকাল নির্ণয়ের সূত্র হলো: T = 2π√(L/g)
যেখানে T হলো দোলনকাল, L হলো কার্যকরী দৈর্ঘ্য এবং g হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ।

যেহেতু নির্দিষ্ট স্থানে g এর মান ধ্রুবক, তাই সূত্র থেকে দেখা যায় দোলনকাল কার্যকরী দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক।
অর্থাৎ, T ∝ √L

সুতরাং, দোলকের দৈর্ঘ্য (L) বৃদ্ধি পেলে এর দোলনকাল (T) বৃদ্ধি পাবে এবং দৈর্ঘ্য হ্রাস পেলে দোলনকাল হ্রাস পাবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যে সরল দোলকের একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে ২ সেকেন্ড সময় লাগে, তাকে সেকেন্ড দোলক (Seconds Pendulum) বলে।
যেহেতু দোলকটির একটি পূর্ণ দোলন দিতে ২ সেকেন্ড সময় লাগে, তাই এর দোলনকাল T = 2 s।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, সেকেন্ড দোলক (Seconds Pendulum)-এর দোলনকাল, T = 2 s।
আবার, কম্পাঙ্ক (Frequency) এবং দোলনকালের (Time Period) মধ্যকার সম্পর্কটি হলো: f = 1/T

সূত্রে T এর মান বসালে পাই,
f = 1/2 Hz = 0.5 Hz

সুতরাং, সেকেন্ড দোলকের কম্পাঙ্ক 0.5 Hz।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, সেকেন্ড দোলক (Seconds Pendulum) হলো এমন একটি সরল দোলক যার একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে ২ সেকেন্ড সময় লাগে।
অর্থাৎ, এর দোলনকাল T = 2 s।

একটি পূর্ণ দোলন বলতে দোলকের এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে গিয়ে আবার আগের প্রান্তে ফিরে আসাকে বোঝায়।
তাই দোলকটির শুধুমাত্র এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে যেতে সময় লাগবে পূর্ণ দোলনকালের অর্ধেক।
নির্ণেয় সময় = T/2 = 2/2 = 1 s।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দিত কোনো বস্তুর সাম্যাবস্থা থেকে x দূরত্বে স্থিতিশক্তি (Potential Energy) এর সমীকরণ হলো: Ep = ½kx2
এবং গতিশক্তি (Kinetic Energy) এর সমীকরণ হলো: Ek = ½k(A2 - x2) [যেখানে A = বিস্তার]

প্রশ্নমতে, গতিশক্তি ও স্থিতিশক্তি সমান। অর্থাৎ,
Ek = Ep
⇒ ½k(A2 - x2) = ½kx2
⇒ A2 - x2 = x2
⇒ 2x2 = A2
⇒ x2 = A2/2
⇒ x = A/√2

দেওয়া আছে, বিস্তার A = 4 cm
সুতরাং, নির্ণেয় দূরত্ব x = 4/√2 cm = 2√2 cm।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সংকুচিত অবস্থায় স্প্রিংয়ের ভেতর স্থিতি শক্তি (Potential Energy) সঞ্চিত থাকে।
এটি মূলত এক প্রকার স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি, যা স্প্রিংয়ের আকার বা অবস্থান পরিবর্তনের (সংকোচন বা প্রসারণ) ফলে সঞ্চিত হয়।
Hooke's Law অনুযায়ী, যখন কোনো স্প্রিংকে সংকুচিত করা হয়, তখন এর মধ্যে একটি স্থিতিস্থাপক প্রত্যয়নী বল সৃষ্টি হয় যা স্প্রিংকে তার মূল অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে চায়।
এই বলের বিরুদ্ধে কাজ করার ফলেই স্প্রিংয়ের মধ্যে তা স্থিতি শক্তি হিসেবে জমা থাকে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আদর্শ স্প্রিংয়ের ক্ষেত্রে স্পন্দনের পর্যায়কাল (T) এর সূত্র হলো:
T = 2π√(m/k)
যেখানে, m = ঝুলানো ভর এবং k = স্প্রিং ধ্রুবক।
এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, স্প্রিংয়ের পর্যায়কাল বিস্তার (Amplitude) এর উপর নির্ভর করে না।
তাই স্পন্দনের বিস্তার দ্বিগুণ করা হলেও দোলনকালের কোনো পরিবর্তন হবে না, অর্থাৎ নতুন দোলনকাল T-ই থাকবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দিত কোনো বস্তুর সাম্যাবস্থা থেকে x দূরত্বে স্থিতিশক্তি (Potential Energy) এর সমীকরণ হলো:
Ep = ½kx2
এখানে k হলো ধ্রুবক।
সমীকরণ থেকে স্পষ্টতই দেখা যায়, স্থিতিশক্তি সরণের বর্গের সমানুপাতিক।
অর্থাৎ, Ep ∝ x2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
স্প্রিংয়ের বল ধ্রুবক (k) তার দৈর্ঘ্যের (L) ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, k ∝ 1/L
স্প্রিংটিকে এমনভাবে দুই ভাগে কাটা হলো যেন একটির দৈর্ঘ্য অপরটির দ্বিগুণ হয়। ধরি, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য x এবং বড় অংশের দৈর্ঘ্য 2x।
তাহলে মোট দৈর্ঘ্য, L = x + 2x = 3x ⇒ x = L/3
সুতরাং, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = L/3 এবং অধিকতর লম্বা স্প্রিংটির দৈর্ঘ্য = 2L/3
যেহেতু স্প্রিং ধ্রুবক দৈর্ঘ্যের ব্যস্তানুপাতিক, তাই অধিকতর লম্বা স্প্রিংটির ধ্রুবক হবে:
k' = k / (2/3) = (3/2)k
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, স্প্রিং ধ্রুবক (k) এবং স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্য (L) পরস্পরের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, k ∝ 1/L
স্প্রিংটির দৈর্ঘ্য কমালে তার স্প্রিং ধ্রুবক বৃদ্ধি পায়।
যখন স্প্রিংটিকে সমান চার টুকরা করা হয়, তখন প্রতিটি টুকরোর দৈর্ঘ্য হবে মূল দৈর্ঘ্যের এক-চতুর্থাংশ, অর্থাৎ L' = L/4
যেহেতু দৈর্ঘ্য চারভাগ হয়েছে, তাই স্প্রিং ধ্রুবক চারগুণ বৃদ্ধি পাবে।
নতুন স্প্রিং ধ্রুবক, k' = 4k
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোনো কণার ক্ষেত্রে:
বিভবশক্তি, Ep = ½kx² (যেখানে x হলো সরণ বা বিস্তার)

এই সমীকরণটি y = ax² আকারের, যা একটি পরাবৃত্তের (Parabola) সমীকরণ নির্দেশ করে।
এখানে, বিভবশক্তি (Ep) বিস্তারের বর্গের (x²) সমানুপাতিক।
সুতরাং, একটি সরল দোলকের বিভবশক্তি বনাম সরণ বা বিস্তারের লেখচিত্র একটি পরাবৃত্ত হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল দোলকের দোলনকালের সূত্রানুসারে, T = 2π√(L/g)
আমরা জানি, পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান শূন্য, অর্থাৎ g = 0।

দোলনকালের সূত্রে মান বসালে পাই:
T = 2π√(L/0)
বা, T = ∞ (অসীম)

যেহেতু পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ শূন্য, তাই সেখানে সরল দোলকের দোলনকাল অসীম হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দোলক ঘড়ির পর্যায়কাল (T) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) এর সম্পর্ক হলো: T ∝ 1/√g

চন্দ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর তুলনায় কম (পৃথিবীর প্রায় ১/৬ ভাগ)।
যেহেতু অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) কমে যায়, তাই সূত্রানুসারে ঘড়িটির পর্যায়কাল (T) বৃদ্ধি পাবে।
পর্যায়কাল বৃদ্ধি পাওয়ার অর্থ হলো একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে ঘড়িটি বেশি সময় নেবে। ফলে ঘড়িটি ধীরে চলবে।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সরল দোলকের দোলনকালের সূত্রানুসারে, T = 2π√(L/g)
এখানে, দোলনকাল (T) দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্যের (L) বর্গমূলের সমানুপাতিক, অর্থাৎ T ∝ √L।

তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেলে তাপীয় প্রসারণের কারণে দোলকের সুতার কার্যকর দৈর্ঘ্য (L) বৃদ্ধি পায়।
যেহেতু দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায়, তাই সূত্রানুসারে দোলকের দোলনকাল (T)-ও বৃদ্ধি পায় (বাড়ে)।
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0