ভেক্টর (121 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
- কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) শূন্য হলে তাকে অঘূর্ণনশীল (Irrotational) ভেক্টর ক্ষেত্র বলা হয়।
- ভেক্টর অপারেটর ∇ (Nabla) এর সাহায্যে কার্ল নির্ণয় করা হয়। কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ∇ এর ক্রস গুণফলই (Cross product) হলো কার্ল।
- গাণিতিকভাবে, যদি কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V অঘূর্ণনশীল হয়, তবে তার শর্ত হলো ∇ × V = 0।
- প্রদত্ত অপশনগুলোতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির প্রতীক হিসেবে ∇ ব্যবহার করা হয়েছে। ভেক্টর বীজগণিতের নিয়ম অনুযায়ী, যেকোনো ভেক্টর বা ভেক্টর অপারেটরের নিজের সাথে ক্রস গুণফল সর্বদা শূন্য হয়, অর্থাৎ ∇ × ∇ = 0।
- তাই অঘূর্ণনশীল শর্তের গাণিতিক প্রকাশ হিসেবে ∇ × ∇ = 0 হলো সঠিক উত্তর।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র সলিনয়ডাল (Solenoidal) হবে যদি ঐ ভেক্টরের ডাইভারজেন্স শূন্য হয়। অর্থাৎ, ∇.A = 0 হতে হবে।

দেওয়া আছে,
A = (px+y)i + (y-2z)j + (x+3z)k

এখন ডাইভারজেন্স নির্ণয় করি,
∇.A = (∂/∂x)(px+y) + (∂/∂y)(y-2z) + (∂/∂z)(x+3z)
⇒ ∇.A = p + 1 + 3
⇒ ∇.A = p + 4

শর্তমতে, ডাইভারজেন্স শূন্য হতে হবে,
p + 4 = 0
⇒ p = -4

সুতরাং, p এর মান -4 হলে ভেক্টরটি সলিনয়ডাল হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ভেক্টর ক্যালকুলাসের সূত্রানুসারে, কোনো স্কেলার ফাংশন (φ) এবং ভেক্টর ফাংশন (A) এর গুণফলের কার্ল-এর সাধারণ সূত্র হলো:
∇×(φA) = (∇φ)×A + φ(∇×A)
- তবে যদি φ একটি ধ্রুবক (constant) স্কেলার হয়, তবে এর গ্রেডিয়েন্ট শূন্য হবে (অর্থাৎ ∇φ = 0)।
- সেক্ষেত্রে, (∇φ)×A = 0 হয়ে যায় এবং সূত্রটি দাঁড়ায়: ∇×(φA) = φ(∇×A)।
- এই শর্তে প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে এটিই সঠিক হিসেবে বিবেচিত।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ভেক্টর অপারেটর ∇ (Nabla) হলো দূরত্বের সাপেক্ষে অন্তরজ (derivative), অর্থাৎ ∇ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k।
- যেহেতু এটি দূরত্বের (m) সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, তাই ∇ এর একক বা মাত্রা হলো 1/m বা m-1।
- প্রদত্ত রাশিটির সঠিক উত্তরের মাত্রা m-4 হওয়ার অর্থ হলো এখানে ৪টি ∇ অপারেটর গুণিতক অবস্থায় রয়েছে (সম্ভবত প্রশ্নে টাইপিং ত্রুটি রয়েছে এবং এটি এমন কোনো রাশি হবে যেখানে ∇ চারবার প্রয়োগ করা হয়েছে)।
- প্রতিবার ∇ অপারেটর প্রয়োগের ফলে এককের সাথে m-1 গুণ হয়, তাই ৪ বার প্রয়োগে মাত্রা হবে m-4।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ভেক্টর ক্যালকুলাসে ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি তৈরি করে।
- কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স (Divergence) হলো ভেক্টর অপারেটর (∇) এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণন। দুটি ভেক্টরের ডট গুণনের ফলাফল সর্বদা স্কেলার ক্ষেত্র (Scalar field) হয়।
- অন্যদিকে, গ্রেডিয়েন্ট একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর করে এবং কার্ল দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন হওয়ায় এটি একটি ভেক্টর রাশি তৈরি করে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
কোনো অন্তরীকরণযোগ্য স্কেলার অপেক্ষক (Scalar function) এর গ্রেডিয়েন্ট (Gradient) হলো ভেক্টর অপারেটর (∇) এবং ঐ স্কেলার অপেক্ষকের সাধারণ গুণন।
- যদি φ একটি স্কেলার ফাংশন হয়, তবে এর গ্রেডিয়েন্টকে গাণিতিকভাবে ∇φ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- গ্রেডিয়েন্টের ফলাফল সর্বদা একটি ভেক্টর রাশি হয়, যা স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার ও দিক নির্দেশ করে।
- অন্যদিকে, ∇.V হলো ডাইভারজেন্স (Divergence) এবং ∇×V হলো কার্ল (Curl)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
কোনো অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষক (Vector function) এর কার্ল (Curl) হলো ভেক্টর অপারেটর (∇) এবং ঐ ভেক্টর অপেক্ষকের ক্রস গুণন (Cross product)।
- যদি V একটি ভেক্টর ফাংশন হয়, তবে এর কার্লকে গাণিতিকভাবে ∇×V দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- কার্লের ফলাফল সর্বদা একটি ভেক্টর রাশি হয়, যা কোনো বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণনের (rotation) মাত্রা ও দিক নির্দেশ করে।
- অন্যদিকে, ∇.V হলো ডাইভারজেন্স (Divergence), যা ডট গুণনের মাধ্যমে একটি স্কেলার রাশি তৈরি করে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
গাণিতিক অপারেটর (Operator) হলো এমন একটি প্রতীক বা চিহ্ন, যা কোনো গাণিতিক প্রক্রিয়ার নির্দেশ দেয় এবং যার নিজস্ব কোনো মান নেই, কিন্তু এটি কোনো চলক বা সংখ্যার উপর প্রযুক্ত হয়ে একটি নতুন মান প্রদান করে।
- √ (রুট), log এবং d/dx (অন্তরীকরণ) হলো অপারেটর। কারণ এগুলো অন্য কোনো রাশির উপর প্রযুক্ত হয়ে কাজ সম্পন্ন করে। (যেমন: √4, log(x), d/dx(x2))
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হিসেবে sin হলো একটি অপারেটর। কিন্তু যখন এর সাথে একটি কোণ যুক্ত হয়ে sinθ তৈরি হয়, তখন এটি একটি সম্পূর্ণ গাণিতিক মান বা ফাংশন নির্দেশ করে।
যেহেতু sinθ একটি নির্দিষ্ট মান প্রদান করে এবং এটি কোনো রাশির উপর গাণিতিক প্রক্রিয়া হিসেবে প্রযুক্ত হতে পারে না, তাই এটি কোনো অপারেটর নয়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ভেক্টর ক্যালকুলাসে গ্রেডিয়েন্ট (Gradient) একটি স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে।
- কোনো স্কেলার ক্ষেত্র (যেমন: তাপমাত্রা বা বিভব) এর উপর ভেক্টর অপারেটর (∇) প্রয়োগ করা হলে যে নতুন রাশিটি পাওয়া যায়, তাকে ঐ স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট বলা হয়।
- এটি স্কেলার রাশির সর্বাধিক বৃদ্ধির হার এবং তার দিক নির্দেশ করে, তাই ফলাফল সর্বদা একটি ভেক্টর রাশি হয়।
- অন্যদিকে, ডাইভারজেন্স একটি ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করে এবং ডট গুণন দুটি ভেক্টরকে স্কেলার রাশিতে পরিণত করে। ক্রস গুণন দুটি ভেক্টরের মধ্যে হয় যা একটি নতুন ভেক্টর রাশি তৈরি করে।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, স্কেলার ফাংশন Q(x,y) = 3x2y
আমরা জানি, কোনো স্কেলার ফাংশনের গ্র্যাডিয়েন্ট ∇Q = (∂Q/∂x)i + (∂Q/∂y)j
প্রথমে x এবং y এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ (partial differentiation) করি:
x এর সাপেক্ষে: ∂Q/∂x = ∂/∂x (3x2y) = 6xy
y এর সাপেক্ষে: ∂Q/∂y = ∂/∂y (3x2y) = 3x2
সুতরাং, ∇Q = 6xyi + 3x2j
এখন (1, -2) বিন্দুতে x = 1 এবং y = -2 বসিয়ে পাই:
∇Q = 6(1)(-2)i + 3(1)2j
∇Q = -12i + 3j
সুতরাং, নির্ণেয় মান -12i + 3j।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
বায়ুর বেগের উত্তরদিকের অংশক (y-অক্ষ বরাবর), vy = 5 km/hr
বায়ুর বেগের পূর্বদিকের অংশক (x-অক্ষ বরাবর), vx = 12 km/hr
যেহেতু উত্তর ও পূর্ব দিক পরস্পর ৯০° কোণে (সমকোণে) ক্রিয়া করে, তাই লব্ধিবেগ পিথাগোরাসের সূত্র বা ভেক্টরের সামান্তরিক সূত্র দিয়ে নির্ণয় করা যায়।
লব্ধিবেগ (R) = √(vx2 + vy2)
মান বসিয়ে পাই,
R = √(122 + 52)
R = √(144 + 25)
R = √169 = 13 km/hr
সুতরাং, বায়ুর লব্ধিবেগ 13 km/hr।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
লব্ধির সূত্রানুসারে আমরা জানি, দুটি ভেক্টর P এবং Q যদি পরস্পর $\alpha$ কোণে ক্রিয়া করে, তবে তাদের লব্ধির মান R হবে:
$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos(\alpha)}$

দেওয়া আছে,
- প্রথম ভেক্টরের মান, $P = 5$ একক
- দ্বিতীয় ভেক্টরের মান, $Q = 5$ একক
- মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 120^\circ$

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
লব্ধি, $R = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2 \times 5 \times 5 \times \cos(120^\circ)}$
$R = \sqrt{25 + 25 + 50 \times (-\frac{1}{2})}$ [যেহেতু $\cos(120^\circ) = -1/2$]
$R = \sqrt{50 - 25}$
$R = \sqrt{25}$
$R = 5$

সুতরাং, ভেক্টর দুটির লব্ধির মান 5 একক।

শর্টকাট নিয়ম: দুটি সমমানের ভেক্টর পরস্পর $120^\circ$ কোণে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান হয়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যেকোনো ভেক্টরের XZ তলে বা সমতলে মান বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করার সময় শুধুমাত্র X এবং Z অক্ষ বরাবর তার উপাংশগুলো বিবেচনা করতে হয়। এক্ষেত্রে Y অক্ষের উপাংশ (অর্থাৎ $\hat{j}$ এর সহগ) বাদ দিতে হবে।

প্রদত্ত ভেক্টর, $\vec{P} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$

ভেক্টরটিতে:
- X অক্ষের উপাংশ ($\hat{i}$ এর সহগ) = 3
- Z অক্ষের উপাংশ ($\hat{k}$ এর সহগ) = 4

অতএব, XZ তলে ভেক্টরটির মান হবে ওই দুটি উপাংশের বর্গের যোগফলের বর্গমূল।
XZ তলে দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3^2 + 4^2}$
= $\sqrt{9 + 16}$
= $\sqrt{25}$
= 5

সুতরাং, XZ সমতলে ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য 5 একক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যেকোনো ত্রিমাত্রিক ভেক্টর $\vec{A} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ এর মান বা দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো: $|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

দেওয়া আছে,
ভেক্টর, $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$

সূত্রানুসারে ভেক্টরটির মান নির্ণয় করি:
$|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2}$
$|\vec{A}| = \sqrt{9 + 4 + 36}$
$|\vec{A}| = \sqrt{49}$
$|\vec{A}| = 7$

সুতরাং, প্রদত্ত ভেক্টর রাশিটির মান 7 একক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দুটি ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের স্ব স্ব উপাংশগুলোর অনুপাত পরস্পর সমান হতে হবে। অর্থাৎ তাদের ভেক্টর গুণফল (Cross Product) শূন্য হবে, যা থেকে আমরা পাই উপাংশগুলোর অনুপাত সমান।

ধরি দুটি ভেক্টর $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ এবং $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$
সমান্তরাল হওয়ার শর্ত: $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$

দেওয়া আছে,
$\vec{A} = 2\hat{i} + x\hat{j} - 4\hat{k}$
$\vec{B} = y\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k}$

শর্তানুসারে পাই,
$\frac{2}{y} = \frac{x}{6} = \frac{-4}{-8}$
$\Rightarrow \frac{2}{y} = \frac{x}{6} = \frac{1}{2}$

এখন, প্রথম ও শেষ অংশ তুলনা করে পাই:
$\frac{2}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ $y = 4$

আবার, দ্বিতীয় ও শেষ অংশ তুলনা করে পাই:
$\frac{x}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{6}{2} \Rightarrow$ $x = 3$

সুতরাং, x = 3 এবং y = 4 হলে ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ যদি একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে, তবে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল তাদের ভেক্টর গুণফল (Cross Product)-এর মানের সমান হয়।

গাণিতিকভাবে, ক্ষেত্রফল = $|\vec{A} \times \vec{B}|$

কারণ:
ভেক্টর গুণফলের মান $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin(\theta)$, যেখানে $\theta$ হলো ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
এখানে $|\vec{A}|$ হলো সামান্তরিকের ভূমি এবং $|\vec{B}|\sin(\theta)$ হলো সামান্তরিকের উচ্চতা।
অতএব, ভূমি $\times$ উচ্চতা = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল হবে ভেক্টর দুটির ভেক্টর গুণফলের সমান।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে ∇ (ডেল) হলো একটি ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর এবং r হলো অবস্থান ভেক্টর।
দেওয়া আছে, r = xi + yj + zk
এবং আমরা জানি, ∇ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k

ধাপে ধাপে সমাধান:
∇ · r অর্থাৎ ডাইভারজেন্স নির্ণয় করতে হবে। ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী সমজাতীয় একক ভেক্টরের গুণফল ১ হয় (যেমন: i·i=1) এবং ভিন্ন একক ভেক্টরের গুণফল ০ হয়।

∇ · r
= {(∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k} · {xi + yj + zk}
= ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z)
= 1 + 1 + 1
= 3

সুতরাং, সঠিক উত্তর 3।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রথমে ব্র্যাকেটের ভেতরের ক্রস গুণনগুলো নির্ণয় করি। ডানহাতি নিয়ম অনুযায়ী আয়ত একক ভেক্টরগুলোর ক্রস গুণনের ক্ষেত্রে আমরা জানি:
• i × j = k
• i × k = -j (যেহেতু k × i = j, তাই বিপরীতক্রমে ঋণাত্মক হবে)

এবার মূল রাশিতে মানগুলো বসিয়ে পাই:
(i × j) × (i × k)
= (k) × (-j)
= -(k × j)

আবার আমরা জানি, k × j = -i (যেহেতু j × k = i)

• সুতরাং, -(-i) = i
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুণন এবং ক্রস গুণনের মান যথাক্রমে:
• |A · B| = ABcosθ
• |A × B| = ABsinθ
(যেখানে A এবং B হলো ভেক্টরদ্বয়ের মান, অর্থাৎ |A| এবং |B|)

ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রদত্ত রাশি, |A × B|² + |A · B|²
মান বসিয়ে পাই:
= (ABsinθ)² + (ABcosθ)²
= A²B²sin²θ + A²B²cos²θ
= A²B²(sin²θ + cos²θ)

ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, sin²θ + cos²θ = 1

সুতরাং,
= A²B²(1)
= |A|².|B|²

এই গাণিতিক সম্পর্কটিকে ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদ (Lagrange's Identity) বলা হয়।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আয়ত একক ভেক্টর i, j, k এর ক্রস গুণন ডানহাতি নিয়ম (Right-hand rule) মেনে চলে।

ক্রস গুণনের নিয়ম:
• যদি একই দিকে (ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে) গুণ করা হয়, তবে ফলাফল ধনাত্মক হয়।
• যেমন: i × j = k, j × k = i, k × i = j

• যদি বিপরীত দিকে (ঘড়ির কাঁটার দিকে) গুণ করা হয়, তবে ফলাফল ঋণাত্মক হয়।
• যেমন: j × i = -k, k × j = -i, i × k = -j

প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, শুধুমাত্র i × j = k সম্পর্কটি সঠিক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধাপে ধাপে সমাধান:
• দেওয়া আছে, ভেক্টরের আদি বা পাদবিন্দু, P = (2, 3, 5) এবং শীর্ষবিন্দু, Q = (7, 8, 10)।
• ভেক্টরটির অবস্থান ভেক্টর বা সরণ হবে শীর্ষবিন্দু এবং পাদবিন্দুর স্থানাঙ্কের বিয়োগফলের সমান।
অর্থাৎ, ভেক্টরটি = (7-2, 8-3, 10-5) = (5, 5, 5)
• এখন, যদি পাদবিন্দুকে মূলবিন্দু বা (0, 0, 0) তে স্থাপন করা হয়, তবে নতুন শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে মূলবিন্দুর সাথে ভেক্টরটির সরণের যোগফল।
• নতুন শীর্ষবিন্দু = (0+5, 0+5, 0+5) = (5, 5, 5)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
প্রথম বিন্দুর স্থানাঙ্ক, A(x₁, y₁, z₁) = (2, 3, 4)
দ্বিতীয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক, B(x₂, y₂, z₂) = (5, 6, 7)

আমরা জানি, ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র:
দূরত্ব (d) = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²}

সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
d = √{(5 - 2)² + (6 - 3)² + (7 - 4)²}
= √(3² + 3² + 3²)
= √(9 + 9 + 9)
= √27
= √(9 × 3)
= 3√3

সুতরাং, বস্তু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 3√3 একক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করার জন্য উক্ত ভেক্টরকে তার মান (Magnitude) দ্বারা ভাগ করতে হয়।

ধাপ ১: প্রদত্ত ভেক্টর R = 4i - 6j + 12k এর মান নির্ণয় করি,
|R| = √{4² + (-6)² + 12²}
= √(16 + 36 + 144)
= √196 = 14

ধাপ ২: সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয়,
সমান্তরাল একক ভেক্টর = R / |R|
= (4i - 6j + 12k) / 14
= 4/14 i - 6/14 j + 12/14 k
= 2/7i - 3/7j + 6/7k (ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ করে)

সুতরাং, সঠিক সমান্তরাল একক ভেক্টরটি হলো 2/7i - 3/7j + 6/7k।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত ভেক্টরটি হলো 2i + 3j

আমরা জানি, ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়:
- i হলো X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
- j হলো Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
- k হলো Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

প্রদত্ত ভেক্টরটিতে শুধুমাত্র i এবং j এর উপাংশ রয়েছে, অর্থাৎ ভেক্টরটি X এবং Y অক্ষ বরাবর বিস্তৃত। এখানে k এর কোনো উপাংশ নেই (Z অক্ষের মান শূন্য)।

যেহেতু ভেক্টরটিতে কেবল X ও Y অক্ষের উপাংশ বিদ্যমান, তাই এটি XY সমতলে অবস্থিত।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত ভেক্টর, P = 5i + 3j + 4k

যেকোনো ভেক্টরের YZ তলে মান বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করার সময় শুধুমাত্র Y এবং Z অক্ষ বরাবর তার উপাংশগুলো বিবেচনা করতে হয়। এক্ষেত্রে X অক্ষের উপাংশ (অর্থাৎ i এর সহগ) বাদ দিতে হবে।

প্রদত্ত ভেক্টরে:
- Y অক্ষের উপাংশ (j এর সহগ) = 3
- Z অক্ষের উপাংশ (k এর সহগ) = 4

অতএব, YZ তলে ভেক্টরটির মান হবে ওই দুটি উপাংশের বর্গের যোগফলের বর্গমূল।
YZ তলে দৈর্ঘ্য = √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25

সুতরাং, YZ সমতলে ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য √25 একক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত বলের ভেক্টর, F = 22i + 5j - 30k

আমরা জানি, কোনো ত্রিমাত্রিক ভেক্টর V = xi + yj + zk এর ক্ষেত্রে:
- X অক্ষ বরাবর উপাংশ বা মান হলো i এর সহগ (x)
- Y অক্ষ বরাবর উপাংশ বা মান হলো j এর সহগ (y)
- Z অক্ষ বরাবর উপাংশ বা মান হলো k এর সহগ (z)

এখানে, প্রদত্ত ভেক্টরে i এর সহগ হলো 22।
সুতরাং, X অক্ষ বরাবর বলটির মান হবে 22 N।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত ভেক্টর, P = î + 2j - 3k

যেকোনো ভেক্টরের YZ তলে মান নির্ণয় করার সময় শুধুমাত্র Y এবং Z অক্ষ বরাবর তার উপাংশগুলো বিবেচনা করতে হয়। এখানে X অক্ষের উপাংশ (অর্থাৎ î এর সহগ) বাদ দিতে হবে।

প্রদত্ত ভেক্টরে:
Y অক্ষের উপাংশ (j এর সহগ) = 2
Z অক্ষের উপাংশ (k এর সহগ) = -3

অতএব, YZ তলে ভেক্টরটির মান হবে ওই দুটি উপাংশের বর্গের যোগফলের বর্গমূল।
YZ তলে মান = √(2² + (-3)²)
= √(4 + 9)
= √13

সুতরাং, YZ তলে ভেক্টরটির মান √13 একক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দুটি ভেক্টর P এবং Q এর লব্ধি R এর মান ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (α) এর উপর নির্ভর করে।
লব্ধির সূত্রানুসারে, R = √(P² + Q² + 2PQ cosα)

সর্বোচ্চ লব্ধি (Rmax):
লব্ধির মান সর্বোচ্চ হবে যখন cosα এর মান সর্বোচ্চ (অর্থাৎ 1) হয়। এটি ঘটে যখন α = 0º।
Rmax = √(P² + Q² + 2PQ) = √(P + Q)² = P + Q

সর্বনিম্ন লব্ধি (Rmin):
লব্ধির মান সর্বনিম্ন হবে যখন cosα এর মান সর্বনিম্ন (অর্থাৎ -1) হয়। এটি ঘটে যখন α = 180º।
Rmin = √(P² + Q² - 2PQ) = √(P - Q)² = |P - Q| বা P∼Q

সুতরাং, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বদা তাদের বিয়োগফলের সমান বা বড় এবং যোগফলের সমান বা ছোট হয়।
গাণিতিকভাবে, P∼Q ≤ R ≤ P+Q
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ভেক্টর দুটি A এবং B এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ θ।

দেওয়া আছে,
স্কেলার (ডট) গুণফল, A.B = AB cos(θ) = 18 ....... (১)
ভেক্টর (ক্রস) গুণফলের মান, |A × B| = AB sin(θ) = 6√3 ....... (২)

এখন, সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) দিয়ে ভাগ করে পাই:
(AB sin(θ)) / (AB cos(θ)) = 6√3 / 18
⇒ tan(θ) = √3 / 3
⇒ tan(θ) = 1 / √3

আমরা জানি, tan(30º) = 1 / √3
সুতরাং, θ = 30º

অতএব, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 30º।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, |A + B| = |A - B|

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
|A + B|² = |A - B|²
⇒ (A + B) . (A + B) = (A - B) . (A - B)
⇒ A.A + A.B + B.A + B.B = A.A - A.B - B.A + B.B

আমরা জানি, ভেক্টরের ডট গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে, অর্থাৎ A.B = B.A এবং A.A = A²।

মানগুলো বসিয়ে পাই,
A² + 2(A.B) + B² = A² - 2(A.B) + B²
উভয়পক্ষ থেকে A² এবং B² বাদ দিলে থাকে:
2(A.B) = -2(A.B)
⇒ 4(A.B) = 0
⇒ A.B = 0

যেহেতু ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল শূন্য, এর অর্থ হলো ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0