If the circle with center O has area 9\(\pi \) . what is the area of equilateral triangle ABC ?

A \(9\sqrt 3 \)

B \(12\sqrt 3 \)

C 18

D 24

E None of these

Correct Answer: Option B

Solution:

বলা হচ্ছে যে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9\(\pi \) . তাহলে বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল কত ?

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi \)r²

প্রশ্নমতে, \(\pi \)r² = 9\(\pi \)

=> r² = 9

=> r = 9

=> r = \(\sqrt {{3^{2\;}}} \)

r = 3

অতএব, AD = OA + OD

= 3 + 3 = 6

এখন, \(\angle ADC\) = 90^o হলে AC হবে অতিভূজ, DC হবে ভূমি এবং AD হবে লম্ব ।

আর, আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভূজের প্রত্যেক কোণের মান 90^o

সেই হিসেবে \(\angle ACD\) = 60^o

দেয়া আছে, \(\angle ADC\) = 90^o

\(\angle CAD\) = {180^o - (90^o + 60^o)} = 30^o

তাহলে, আমরা ADC একটি ত্রিভুজ পেলাম যার কোণগুলো হচ্ছে 30^o , 60^o এবং 90^o .

এই ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত হবে x, \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x\) এবং 2x

কিন্তু \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x\) = 6

=> x = \(\frac{{12}}{{\sqrt 3 }}\)

=> (x)² = \({(\frac{{12}}{{\sqrt 3 }}\;)^{2\;}}\)

=> (x)² = \(\frac{{144}}{3}\)

=> x² = 48

=> x = \(\sqrt {3 \times 16} \)

=> x = \(\sqrt {3 \times {4^{2\;}}} \)

x = \(4\sqrt 3 \)

অতএব, 30^o , 60^o এবং 90^o কোণ বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলি হবে যথাক্রমে \(4\sqrt 3 \), 6 এবং 2 \( \times \) \(4\sqrt 3 \) বা \(8\sqrt 3 \)

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times \) সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল

= \(\frac{1}{2} \times 4\sqrt 3 \times 6 = 12\sqrt 3 \)