For x > 0, what is the minimum value of $x+\frac{16}{x}?$

চলো এই অংকটি খুব সহজে ধাপে ধাপে বুঝে নিই। আমাদের কাছে একটি বীজগণিতীয় রাশি দেওয়া আছে: $x+\frac{16}{x}$ এবং বলা হয়েছে $x > 0$। এর সবচেয়ে ছোট বা সর্বনিম্ন মান বের করতে হবে।
আমরা এই রাশিটিকে বর্গের সূত্রে সাজিয়ে খুব সহজেই সমাধান করতে পারি।
- রাশিটিকে আমরা বর্গের আকারে সাজালে লিখতে পারি: $(\sqrt{x})^2 + \left(\frac{4}{\sqrt{x}}\right)^2$
- এখন এটি $a^2 + b^2$ এর মতো দেখতে হয়েছে। বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
- এই সূত্রটি এখানে প্রয়োগ করলে আমরা পাই:
$= (\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}$
- ডানপাশের গুণ করার সময় উপরের $\sqrt{x}$ এবং নিচের $\sqrt{x}$ কাটাকাটি চলে যায়। ফলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$= (\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}})^2 + 8$
- এখন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টা লক্ষ্য করো। গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গের (square) মান কখনো ঋণাত্মক (negative) হতে পারে না। অর্থাৎ, কোনো কিছুর স্কয়ার করলে তার সবচেয়ে ছোট মান সবসময় $0$ হয়।
- সুতরাং, পুরো রাশিটির মান সবচেয়ে ছোট তখনই হবে, যখন ব্র্যাকেটের ভেতরের বর্গের অংশটুকুর মান $0$ হবে।
- অতএব, রাশিটির সর্বনিম্ন মান হবে: $0 + 8 = 8$
এজন্যই সঠিক উত্তর হবে ৪।