If x²  - 3x + 1 = 0, What is the value of \({x^{2\;}} - \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) ? 

Solution: 

আমাদেরকে বের করতে হবে, \({x^{2\;}} - \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) = \((x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})\) .......... (1) 

 অর্থাৎ আমরা \((x + \frac{1}{x})\) এবং \((x - \frac{1}{x})\) এর মান নিচের সমীকরণের সাহায্যে বের করবো ।

    x²  - 3x + 1 = 0 

 => \(\frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{3x}}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0}{x}\)         [x দ্বারা ভাগ করে ] 

 => \(x - 3 + \frac{1}{x} = 0\)

=> \(x + \frac{1}{x} = 3\)                  [পক্ষান্তর করে ] ......... (2) 

=>  \({(x + \frac{1}{x})^{2\;}} = {(3)^{2\;}}\)         [ বর্গ করে ]  

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} + 4 \times x \times \frac{1}{x} = 9\)

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} + 4 = 9\)

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} = 9 - 4\)

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} = 5\) 

        \((x - \frac{1}{x}) = \sqrt 5 \)        [বর্গমূল করে ] .......... (3) 

 অর্থাৎ আমরা পেলাম \((x + \frac{1}{x}) = 3\) এবং \((x - \frac{1}{x}) = \sqrt 5 \) 

      \({x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = 3 \times \sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)