If positive integers m and n satisfy m + n < 10, how many distinct values can mn assume?

অংকটিতে বলা হয়েছে, $m$ এবং $n$ হলো দুটি positive integer বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। অর্থাৎ, এদের মান ১, ২, ৩, ৪... ইত্যাদি হতে পারে।
শর্ত দেওয়া আছে, $m + n < 10$
এর মানে হলো, $m$ এবং $n$ এর যোগফল অবশ্যই ১০ এর চেয়ে ছোট হতে হবে। যেহেতু এরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই এদের যোগফল সর্বোচ্চ ৯ হতে পারে।
আমাদের বের করতে হবে $m \times n$ (বা $mn$) এর কয়টি distinct value বা ভিন্ন ভিন্ন মান পাওয়া সম্ভব।
$m$ এবং $n$ এর সম্ভাব্য মানগুলো ধরে গুণফলগুলো নিচে বের করা হলো:
- যদি $m = 1$ হয়, তবে $m+n \le 9$ শর্তে $n$ এর মান ১ থেকে ৮ পর্যন্ত হতে পারে। গুণফলগুলো: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (এখানে ৮টি ভিন্ন মান পাওয়া গেলো)।
- যদি $m = 2$ হয়, তবে $n$ এর মান ১ থেকে ৭ পর্যন্ত হতে পারে। গুণফলগুলো: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 (এখানে আগেরগুলোর বাইরে ৩টি নতুন মান পাওয়া গেলো)।
- যদি $m = 3$ হয়, তবে $n$ এর মান ১ থেকে ৬ পর্যন্ত হতে পারে। গুণফলগুলো: 3, 6, 9, 12, 15, 18 (এখানে ৩টি নতুন মান পাওয়া গেলো)।
- যদি $m = 4$ হয়, তবে $n$ এর মান ১ থেকে ৫ পর্যন্ত হতে পারে। গুণফলগুলো: 4, 8, 12, 16, 20 (এখানে ২টি নতুন মান পাওয়া গেলো)।
- যদি $m = 5$ হয়, তবে $n$ এর মান ১ থেকে ৪ পর্যন্ত হতে পারে। গুণফলগুলো: 5, 10, 15, 20 (এখানে নতুন কোনো মান নেই, সবগুলো আগেই পাওয়া গেছে)।
- এরপর $m$ এর মান 6, 7 বা 8 ধরলে $n$ এর মানগুলো ক্রমান্বয়ে কমে আসবে এবং গুণফলগুলো উপরের মানগুলোর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকবে।
সুতরাং, $mn$ এর মোট ভিন্ন ভিন্ন মান বা distinct values এর সংখ্যা = ৮ + ৩ + ৩ + ২ = ১৬টি।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।