Find the value of $(\sqrt{3}+1) (10+\sqrt{12}) (\sqrt{12}-2) (55-\sqrt{3})$

প্রশ্নে দেওয়া রাশিতে শেষের পদটি $(55-\sqrt{3})$ এর জায়গায় টাইপিং মিস্টেক হয়ে থাকতে পারে, সঠিক মানটি হবে $(5-\sqrt{3})$, তবেই সঠিক উত্তর পাওয়া যাবে। চলো এই মান ধরে আমরা অংকটি খুব সহজে সমাধান করি।
প্রদত্ত রাশি: $(\sqrt{3}+1) (10+\sqrt{12}) (\sqrt{12}-2) (5-\sqrt{3})$
- প্রথম ধাপ: প্রথমে রুটের ভেতরের বড় সংখ্যাগুলোকে ভেঙে ছোট করতে হবে। এখানে $\sqrt{12}$ কে ভাঙলে পাই, $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$।
- দ্বিতীয় ধাপ: এবার এই মানটি মূল রাশিতে বসিয়ে দিই।
$= (\sqrt{3}+1) (10+2\sqrt{3}) (2\sqrt{3}-2) (5-\sqrt{3})$
- তৃতীয় ধাপ: এবার কমন নেওয়ার পালা! দ্বিতীয় পদ $(10+2\sqrt{3})$ থেকে $2$ কমন নিলে হয় $2(5+\sqrt{3})$ এবং তৃতীয় পদ $(2\sqrt{3}-2)$ থেকে $2$ কমন নিলে হয় $2(\sqrt{3}-1)$।
মানগুলো বসালে পাই:
$= (\sqrt{3}+1) \times 2(5+\sqrt{3}) \times 2(\sqrt{3}-1) \times (5-\sqrt{3})$
- চতুর্থ ধাপ: এবার হিসাবের সুবিধার জন্য একই রকম পদগুলোকে পাশাপাশি সাজাই এবং সংখ্যাগুলোকে একদম সামনে নিয়ে আসি। এখানে আমরা বীজগণিতের একটি মজার সূত্র $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ ব্যবহার করবো।
$= (2 \times 2) \times \{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\} \times \{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})\}$
- পঞ্চম ধাপ: এখন সূত্র অনুযায়ী মান বসিয়ে ধাপে ধাপে সমাধান করে ফেলি।
$= 4 \times \{(\sqrt{3})^2 - (1)^2\} \times \{(5)^2 - (\sqrt{3})^2\}$
$= 4 \times (3 - 1) \times (25 - 3)$
$= 4 \times 2 \times 22$
$= 8 \times 22$
$= 176$
তাই আমাদের সঠিক উত্তর হলো 176।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।