How many points are both 4 units from the origin and also 2 units from the line y = 4?
Solution
Correct Answer: Option B
এখানে দুইটি শর্ত দেওয়া আছে:
১ম শর্ত: মূলবিন্দু (Origin) অর্থাৎ (0,0) থেকে বিন্দুর দূরত্ব 4 একক।
আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে r দূরত্বের বিন্দুগুলো একটি বৃত্ত তৈরি করে যার সমীকরণ: x2 + y2 = r2
সুতরাং, x2 + y2 = 42 বা x2 + y2 = 16 (এটি একটি বৃত্ত)।
২য় শর্ত: রেখা y = 4 থেকে বিন্দুর দূরত্ব 2 একক।
y = 4 রেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল। এই রেখা থেকে 2 একক দূরত্বের সমান্তরাল রেখা দুটি হতে পারে:
y = 4 + 2 = 6
এবং y = 4 - 2 = 2
এখন আমাদের দেখতে হবে এই রেখাগুলো (y = 6 এবং y = 2) বৃত্তটিকে (x2 + y2 = 16) কতবার ছেদ করে।
১. যদি y = 6 হয়, তবে x2 + 62 = 16 বা x2 = 16 - 36 = -20। এটি অসম্ভব, কারণ বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই y = 6 রেখায় সমাধান নেই।
২. যদি y = 2 হয়, তবে x2 + 22 = 16 বা x2 = 16 - 4 = 12 বা x = ±√12। এখানে x এর দুইটি বাস্তব মান পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং, মোট 2টি বিন্দু পাওয়া যাবে।
সহজ ব্যাখ্যা (চিত্রের মাধ্যমে কল্পনা):
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে 4 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকলে তার সর্বোচ্চ উচ্চতা বা y-মান 4 (যেহেতু ব্যাসার্ধ 4)।
y = 4 রেখাটি এই বৃত্তকে ঠিক উপরের বিন্দুতে স্পর্শ করে (0, 4)।
প্রশ্নানুসারে, বিন্দুটি y = 4 রেখা থেকে 2 একক দূরে হতে হবে। যেহেতু বৃত্তের সব বিন্দুর y-মান 4 বা তার কম (এবং -4 বা তার বেশি), তাই y = 6 রেখাটি বৃত্তের বাইরে। কিন্তু y = 2 রেখাটি বৃত্তের ভেতর দিয়ে যাবে এবং বৃত্তকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে। তাই উত্তর 2।
১ম শর্ত: মূলবিন্দু (Origin) অর্থাৎ (0,0) থেকে বিন্দুর দূরত্ব 4 একক।
আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে r দূরত্বের বিন্দুগুলো একটি বৃত্ত তৈরি করে যার সমীকরণ: x2 + y2 = r2
সুতরাং, x2 + y2 = 42 বা x2 + y2 = 16 (এটি একটি বৃত্ত)।
২য় শর্ত: রেখা y = 4 থেকে বিন্দুর দূরত্ব 2 একক।
y = 4 রেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল। এই রেখা থেকে 2 একক দূরত্বের সমান্তরাল রেখা দুটি হতে পারে:
y = 4 + 2 = 6
এবং y = 4 - 2 = 2
এখন আমাদের দেখতে হবে এই রেখাগুলো (y = 6 এবং y = 2) বৃত্তটিকে (x2 + y2 = 16) কতবার ছেদ করে।
১. যদি y = 6 হয়, তবে x2 + 62 = 16 বা x2 = 16 - 36 = -20। এটি অসম্ভব, কারণ বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই y = 6 রেখায় সমাধান নেই।
২. যদি y = 2 হয়, তবে x2 + 22 = 16 বা x2 = 16 - 4 = 12 বা x = ±√12। এখানে x এর দুইটি বাস্তব মান পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং, মোট 2টি বিন্দু পাওয়া যাবে।
সহজ ব্যাখ্যা (চিত্রের মাধ্যমে কল্পনা):
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে 4 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকলে তার সর্বোচ্চ উচ্চতা বা y-মান 4 (যেহেতু ব্যাসার্ধ 4)।
y = 4 রেখাটি এই বৃত্তকে ঠিক উপরের বিন্দুতে স্পর্শ করে (0, 4)।
প্রশ্নানুসারে, বিন্দুটি y = 4 রেখা থেকে 2 একক দূরে হতে হবে। যেহেতু বৃত্তের সব বিন্দুর y-মান 4 বা তার কম (এবং -4 বা তার বেশি), তাই y = 6 রেখাটি বৃত্তের বাইরে। কিন্তু y = 2 রেখাটি বৃত্তের ভেতর দিয়ে যাবে এবং বৃত্তকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে। তাই উত্তর 2।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions