A can contains a mixture of two liquids A and B at the ratio 7 : 5. When 9 liters of mixture are drawn off and the can is filled with liquid B, the ratio of A and B becomes 7 : 9, How many liters of liquid A was contained by the can initially?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option C
অনুবাদ: একটি ক্যানে দুটি তরল A এবং B-এর মিশ্রণ ৭ : ৫ অনুপাতে আছে। যখন মিশ্রণ থেকে ৯ লিটার বের করে নেওয়া হলো এবং ক্যানটি তরল B দ্বারা পূরণ করা হলো, তখন A এবং B-এর অনুপাত ৭ : ৯ হলো। শুরুতে ক্যানে কত লিটার তরল A ছিল?
বিস্তারিত সমাধান:
মনে করি, শুরুতে ক্যানে তরল A-এর পরিমাণ = 7x লিটার
এবং তরল B-এর পরিমাণ = 5x লিটার
∴ মোট মিশ্রণের পরিমাণ = 7x + 5x = 12x লিটার
মিশ্রণ থেকে 9 লিটার তুলে নেওয়া হলে,
বাকি মিশ্রণে A-এর পরিমাণ = 7x - ৯ এর (৭/১২) = 7x - ২১/৪ লিটার
বাকি মিশ্রণে B-এর পরিমাণ = 5x - ৯ এর (৫/১২) = 5x - ১৫/৪ লিটার
এখন, ক্যানটি তরল B দ্বারা পূর্ণ করা হলো (অর্থাৎ ৯ লিটার B যোগ করা হলো),
নতুন মিশ্রণে B-এর পরিমাণ = (5x - ১৫/৪) + ৯ লিটার
প্রশ্নমতে,
(A-এর নতুন পরিমাণ) / (B-এর নতুন পরিমাণ) = ৭/৯
⇒ (7x - ২১/৪) / { (5x - ১৫/৪) + ৯ } = ৭/৯
⇒ { (28x - 21) / 4 } / { (20x - 15 + 36) / 4 } = ৭/৯
⇒ (28x - 21) / (20x + 21) = ৭/৯ [উভয় পক্ষ থেকে হর ৪ বাদ দিয়ে]
⇒ ৯(28x - 21) = ৭(20x + 21) [আড়গুণন করে]
⇒ 252x - 189 = 140x + 147
⇒ 252x - 140x = 147 + 189
⇒ 112x = 336
⇒ x = 336 / 112
∴ x = 3
শুরুতে তরল A-এর পরিমাণ ছিল = 7x = ৭ × ৩ = ২১ লিটার।
শর্টকাট টেকনিক:
প্রাথমিক অনুপাত A:B = ৭ : ৫ (মোট ১২ ভাগ)
চূড়ান্ত অনুপাত A:B = ৭ : ৯ (মোট ১৬ ভাগ)
লক্ষ্য করুন, মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ তরল যোগ করায় মোট আয়তন সমান থাকা উচিত ছিল। তাই আমরা মোট অংশ সমান করব।
প্রথম অনুপাতকে ৪ দিয়ে গুণ করি: 28 : 20 (মোট ৪৮)
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি: 21 : 27 (মোট ৪৮)
A এর পরিমাণ 28 একক থেকে কমে 21 একক হয়েছে।
পার্থক্য = 7 একক।
এই 7 একক পরিবর্তনের কারণ ৯ লিটার মিশ্রণ অপসারণ।
A এর 7 একক কমার অর্থ হলো ৯ লিটারে A এর অংশ কত?
৯ লিটার মিশ্রণে A থাকে = ৯ × (৭/১২) = ৫.২৫ লিটার।
এখানে অনুপাতের পরিবর্তনে জটিলতা এড়াতে সোজা পদ্ধতি:
অবশেষে A এর পরিমাণ তার আগের অবস্থারই অংশ, শুধুমাত্র ঘনত্ব কমেছে।
শেষ মিশ্রণে A এর ঘনত্ব = ৭/১৬
শুরুতে A এর ঘনত্ব = ৭/১২
ঘনত্ব কমার হার = (৭/১৬) / (৭/১২) = ৩/৪
অর্থাৎ, অবশিষ্ট মিশ্রণ = মোট আয়তনের ৩/৪ অংশ।
তুলে নেওয়া ১/৪ অংশ = ৯ লিটার।
∴ মোট আয়তন = ৯ × ৪ = ৩৬ লিটার।
শুরুতে A ছিল = ৩৬ এর ৭/১২ = ২১ লিটার।
বিস্তারিত সমাধান:
মনে করি, শুরুতে ক্যানে তরল A-এর পরিমাণ = 7x লিটার
এবং তরল B-এর পরিমাণ = 5x লিটার
∴ মোট মিশ্রণের পরিমাণ = 7x + 5x = 12x লিটার
মিশ্রণ থেকে 9 লিটার তুলে নেওয়া হলে,
বাকি মিশ্রণে A-এর পরিমাণ = 7x - ৯ এর (৭/১২) = 7x - ২১/৪ লিটার
বাকি মিশ্রণে B-এর পরিমাণ = 5x - ৯ এর (৫/১২) = 5x - ১৫/৪ লিটার
এখন, ক্যানটি তরল B দ্বারা পূর্ণ করা হলো (অর্থাৎ ৯ লিটার B যোগ করা হলো),
নতুন মিশ্রণে B-এর পরিমাণ = (5x - ১৫/৪) + ৯ লিটার
প্রশ্নমতে,
(A-এর নতুন পরিমাণ) / (B-এর নতুন পরিমাণ) = ৭/৯
⇒ (7x - ২১/৪) / { (5x - ১৫/৪) + ৯ } = ৭/৯
⇒ { (28x - 21) / 4 } / { (20x - 15 + 36) / 4 } = ৭/৯
⇒ (28x - 21) / (20x + 21) = ৭/৯ [উভয় পক্ষ থেকে হর ৪ বাদ দিয়ে]
⇒ ৯(28x - 21) = ৭(20x + 21) [আড়গুণন করে]
⇒ 252x - 189 = 140x + 147
⇒ 252x - 140x = 147 + 189
⇒ 112x = 336
⇒ x = 336 / 112
∴ x = 3
শুরুতে তরল A-এর পরিমাণ ছিল = 7x = ৭ × ৩ = ২১ লিটার।
শর্টকাট টেকনিক:
প্রাথমিক অনুপাত A:B = ৭ : ৫ (মোট ১২ ভাগ)
চূড়ান্ত অনুপাত A:B = ৭ : ৯ (মোট ১৬ ভাগ)
লক্ষ্য করুন, মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ তরল যোগ করায় মোট আয়তন সমান থাকা উচিত ছিল। তাই আমরা মোট অংশ সমান করব।
প্রথম অনুপাতকে ৪ দিয়ে গুণ করি: 28 : 20 (মোট ৪৮)
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি: 21 : 27 (মোট ৪৮)
A এর পরিমাণ 28 একক থেকে কমে 21 একক হয়েছে।
পার্থক্য = 7 একক।
এই 7 একক পরিবর্তনের কারণ ৯ লিটার মিশ্রণ অপসারণ।
A এর 7 একক কমার অর্থ হলো ৯ লিটারে A এর অংশ কত?
৯ লিটার মিশ্রণে A থাকে = ৯ × (৭/১২) = ৫.২৫ লিটার।
এখানে অনুপাতের পরিবর্তনে জটিলতা এড়াতে সোজা পদ্ধতি:
অবশেষে A এর পরিমাণ তার আগের অবস্থারই অংশ, শুধুমাত্র ঘনত্ব কমেছে।
শেষ মিশ্রণে A এর ঘনত্ব = ৭/১৬
শুরুতে A এর ঘনত্ব = ৭/১২
ঘনত্ব কমার হার = (৭/১৬) / (৭/১২) = ৩/৪
অর্থাৎ, অবশিষ্ট মিশ্রণ = মোট আয়তনের ৩/৪ অংশ।
তুলে নেওয়া ১/৪ অংশ = ৯ লিটার।
∴ মোট আয়তন = ৯ × ৪ = ৩৬ লিটার।
শুরুতে A ছিল = ৩৬ এর ৭/১২ = ২১ লিটার।
