If the circle with center O has area 9\(\pi \) . what is the area of equilateral triangle ABC ?  

Solution: 

বলা হচ্ছে যে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9\(\pi \) . তাহলে বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল কত ? 

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল  \(\pi \)r² 

প্রশ্নমতে, \(\pi \)r²  = 9\(\pi \)

     => r²  = 9 

     => r = 9 

     => r = \(\sqrt {{3^{2\;}}} \)

          r = 3  

   অতএব, AD = OA + OD 

                    = 3 + 3 = 6 

 এখন, \(\angle ADC\) = 90^o  হলে AC হবে অতিভূজ, DC হবে ভূমি এবং AD হবে লম্ব । 

আর, আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভূজের প্রত্যেক কোণের মান 90^o

সেই হিসেবে \(\angle ACD\) = 60^o  

দেয়া আছে,  \(\angle ADC\) = 90^o 

 \(\angle CAD\) = {180^o  - (90^o  + 60^o )} = 30^o  

তাহলে, আমরা ADC একটি ত্রিভুজ পেলাম যার কোণগুলো হচ্ছে 30^o  , 60^o  এবং 90^o  . 

এই ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত হবে x, \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x\) এবং 2x 

           কিন্তু \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x\) = 6  

             => x = \(\frac{{12}}{{\sqrt 3 }}\) 

             => (x)²  = \({(\frac{{12}}{{\sqrt 3 }}\;)^{2\;}}\) 

             =>   (x)²     = \(\frac{{144}}{3}\)

             =>  x²  = 48 

            =>  x = \(\sqrt {3 \times 16} \)  

            => x = \(\sqrt {3 \times {4^{2\;}}} \)

                 x = \(4\sqrt 3 \)

    অতএব, 30^o  , 60^o  এবং 90^o   কোণ বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলি হবে যথাক্রমে \(4\sqrt 3 \), 6 এবং 2 \( \times \) \(4\sqrt 3 \)  বা \(8\sqrt 3 \) 

              সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times \) সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল 

                                               = \(\frac{1}{2} \times 4\sqrt 3  \times 6 = 12\sqrt 3 \)