If x and y are positige integers such that 3^x+y = 9⁴ and 2^x-y = 16. what is the value of x² - y²?

দেওয়া আছে,
3^x+y = 9⁴ ................. (i)
এবং 2^x-y = 16 ............... (ii)

সমীকরণ (i) হতে পাই,
3^x+y = (3²)⁴ [যেহেতু, 9 = 3²]
বা, 3^x+y = 3⁸
বা, x + y = 8 [উভয় পাশের ভিত্তি সমান হলে সূচকগুলোও সমান হয়]

আবার সমীকরণ (ii) হতে পাই,
2^x-y = 2⁴ [যেহেতু, 16 = 2⁴]
বা, x - y = 4 [উভয় পাশের ভিত্তি সমান হলে সূচকগুলোও সমান হয়]

আমাদের নির্ণয় করতে হবে: x² - y² এর মান।

আমরা জানি, x² - y² = (x + y)(x - y)
মান বসিয়ে পাই,
x² - y² = 8 × 4
∴ x² - y² = 32

শর্টকাট নিয়ম:
আমাদের (x+y) এবং (x-y) এর মান খুঁজে বের করে গুণ করে দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে।
এখানে, 9⁴ কে 3 এর ভিত্তিতে নিলে হয় 3⁸, তার মানে (x + y) = 8।
আবার, 16 হলো 2⁴, তার মানে (x – y) = 4।
আমরা জানি, x² - y² = (x+y)(x-y) = 8 × 4 = 32