In a geometric progression, the 3rd term is 12 and the 6^th term is 96. Find the sum of the first 8 terms.

চলো অংকটি একদম সহজে ধাপে ধাপে বুঝে নিই। এটি একটি গুণোত্তর ধারার (Geometric Progression) অংক।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদকে ধরি $a$ এবং সাধারণ অনুপাতকে ধরি $r$।
সূত্র অনুযায়ী, $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$

- এখানে ৩য় পদ দেওয়া আছে ১২। অর্থাৎ, $ar^{3-1} = ar^2 = 12$ ....... (১ নং সমীকরণ)
- আবার, ৬ষ্ঠ পদ দেওয়া আছে ৯৬। অর্থাৎ, $ar^{6-1} = ar^5 = 96$ ....... (২ নং সমীকরণ)

এখন, ২ নং সমীকরণকে ১ নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{96}{12}$
$\Rightarrow r^3 = 8$
$\Rightarrow r^3 = 2^3$
$\Rightarrow r = 2$

যেহেতু $r$ এর মান ১ এর চেয়ে বড় ($r>1$), তাই সমষ্টি বের করার সূত্রটি হবে $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

এবার $r$ এর মান ১ নং সমীকরণে বসিয়ে $a$ বা প্রথম পদের মান বের করে নিই:
$a(2)^2 = 12$
$\Rightarrow a \times 4 = 12$
$\Rightarrow a = \frac{12}{4}$
$\Rightarrow a = 3$

আমাদেরকে প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি বের করতে বলা হয়েছে। অর্থাৎ, এখানে পদসংখ্যা $n = 8$
আমরা জানি, সমষ্টি $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
$\Rightarrow S_8 = \frac{3(2^8 - 1)}{2 - 1}$
$\Rightarrow S_8 = \frac{3(256 - 1)}{1}$
$\Rightarrow S_8 = 3 \times 255$
$\Rightarrow S_8 = 765$

সুতরাং, প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি হবে 765।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।