যদি $2^{x}.3^{y} = 12$ এবং $2^{y}.3^{x} = 18$ হয়, তবে x + y এর মান কত?

দেওয়া আছে,
$2^x \cdot 3^y = 12$ .......(i)
$2^y \cdot 3^x = 18$ .......(ii)
এখন, (i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ দুটি গুণ করে পাই,
$(2^x \cdot 3^y) \times (2^y \cdot 3^x) = 12 \times 18$
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, আমরা জানি ভিত্তি (base) একই থাকলে গুণের সময় পাওয়ারগুলো যোগ হয়। তাই $2$ এবং $3$ এর পাওয়ারগুলো আলাদাভাবে যোগ করে ফেলি:
- $2^{x+y} \cdot 3^{y+x} = 216$
- বা, $2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 216$
আবার সূচকের আরেকটি চমৎকার নিয়ম হলো, পাওয়ার একই থাকলে ভিত্তিগুলো গুণ করা যায়। অর্থাৎ $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ নিয়ম প্রয়োগ করে পাই:
- বা, $(2 \cdot 3)^{x+y} = 216$
- বা, $6^{x+y} = 216$
এখন আমাদের ডানপাশের $216$ কে $6$ এর পাওয়ার হিসেবে প্রকাশ করতে হবে, যাতে উভয় পাশের ভিত্তি (base) মিলে যায়। চলো দেখি $6$ কে কতবার গুণ করলে $216$ হয়,
- $6 \times 6 = 36$
- $36 \times 6 = 216$
- অর্থাৎ, $6^3 = 216$
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$6^{x+y} = 6^3$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি $6$ একই, তাই আমরা ভিত্তি বাদ দিয়ে শুধু পাওয়ারগুলোকে সমান লিখতে পারি:
- অতএব, $x + y = 3$
সুতরাং, $x + y$ এর মান হবে $3$।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।