লগারিদমের অঙ্কে যে সংখ্যার লগ বের করতে বলা হয়, তাকে ভিত্তির পাওয়ার বা সূচক হিসেবে প্রকাশ করতে পারলে সমাধান খুব সহজ হয়ে যায়। এখানে আমাদের ভিত্তি হলো $5$, তাই $5\sqrt{5}$ কে আমরা $5$ এর পাওয়ার হিসেবে সাজাব।
চলো ধাপে ধাপে সমাধানটি দেখি:
- প্রথমে, $5\sqrt{5}$ কে সূচকের নিয়মে ভাঙি।
- এখানে সাধারণ $5$ এর পাওয়ার বা সূচক হচ্ছে $1$, আর $\sqrt{5}$ মানে হলো $5$ এর পাওয়ার $\frac{1}{2}$।
- তাহলে আমরা লিখতে পারি, $5\sqrt{5} = 5^1 \times 5^{\frac{1}{2}}$
- আমরা জানি, গুণের সময় ভিত্তি একই থাকলে পাওয়ারগুলো যোগ হয়। তাই নতুন পাওয়ার হবে $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
- সুতরাং, সংখ্যাটি দাঁড়ালো $5^{\frac{3}{2}}$
- এখন এই সংখ্যার $5$ ভিত্তিক লগ নিলে সমীকরণটি হয়: $\log_5(5^{\frac{3}{2}})$
- লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী পাওয়ার সবসময় লগের সামনে চলে আসে। তাই এটি হবে: $\frac{3}{2} \log_5 5$
- আবার আমরা এটাও জানি যে, লগের ভিত্তি এবং সংখ্যা একই হলে তার মান $1$ হয়। অর্থাৎ, $\log_5 5 = 1$
- তাই শেষ পর্যন্ত আমাদের উত্তর হবে $\frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
Q2.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সূচকের অংকে এই ধরনের চক্রাকার (Cyclic) রাশি থাকলে সমাধানটি খুব সহজেই করা যায়। এখানে মূল কাজ হলো সূচকের সাধারণ নিয়মগুলো ধাপে ধাপে প্রয়োগ করা।
চলো নিয়মগুলো একটু মনে করে নিই:
- ভাগের নিয়ম: ভিত্তি (Base) একই থাকলে ভাগের সময় পাওয়ার বা সূচকগুলো বিয়োগ হয়। যেমন: $\frac{X^a}{X^b} = X^{a-b}$
- গুণের নিয়ম: ভিত্তি একই থাকলে গুণের সময় পাওয়ারগুলো যোগ হয়। যেমন: $X^a \times X^b = X^{a+b}$
- ঘাতের নিয়ম: পাওয়ারের উপর পাওয়ার থাকলে তাদের মধ্যে গুণ হয়। যেমন: $(X^a)^b = X^{ab}$
- শূন্য ঘাতের নিয়ম: যেকোনো অশূন্য ভিত্তির পাওয়ার শূন্য (0) হলে তার মান সবসময় $1$ হয়। অর্থাৎ, $X^0 = 1$
এই ধরনের প্রশ্নে সাধারণত ব্র্যাকেটের ভেতরের ভগ্নাংশগুলোর ভিত্তি $X$ থাকে। তুমি যখন ভাগের নিয়ম প্রয়োগ করে পাওয়ারগুলো বিয়োগ করবে এবং তারপর বাইরের পাওয়ারের সাথে গুণ করবে, তখন দেখবে রাশিগুলো চক্রাকারে $ab, bc, ca$ বা $a^2, b^2, c^2$ ইত্যাদি আকারে চলে আসে।
সবশেষে, যখন তুমি গুণের নিয়ম অনুযায়ী সবগুলো পাওয়ার একসাথে যোগ করবে, তখন সবগুলো ধনাত্মক ও ঋণাত্মক মান যোগ-বিয়োগ হয়ে কাটাকাটি চলে যাবে।
কাটাকাটি যাওয়ার পর ভিত্তি $X$ এর পাওয়ার হিসেবে শুধুমাত্র $0$ অবশিষ্ট থাকবে।
অর্থাৎ রাশিটি দাঁড়াবে: $X^0$
যেহেতু আমরা জানি, যেকোনো ভিত্তির পাওয়ার শূন্য হলে তার মান 1 হয়, তাই এই পুরো অংকটির মান হবে $1$ ।
এখানে দেওয়া আছে একটি সমান্তর ধারা: ৪, ৯, ১৪, ....
সমান্তর ধারার অংকগুলো সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে ধারার প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর বের করে নিতে হয়।
- প্রথম পদ ($a$) = $4$
- সাধারণ অন্তর ($d$) = দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = $9 - 4 = 5$
- ধরি, ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$) = $378$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো: $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$
এখন এই সূত্রে মানগুলো বসিয়ে দিই:
$378 = \frac{n}{2} \{2 \times 4 + (n-1)5\}$
$378 \times 2 = n \{8 + 5n - 5\}$
$756 = n(5n + 3)$
$5n^2 + 3n - 756 = 0$
এখন এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Middle term) করতে হবে।
$5n^2 + 63n - 60n - 756 = 0$
$n(5n + 63) - 12(5n + 63) = 0$
$(5n + 63)(n - 12) = 0$
এখান থেকে আমরা দুটি মান পাই, $n = 12$ অথবা $5n + 63 = 0 \Rightarrow n = -\frac{63}{5}$।
যেহেতু পদের সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক (negative) বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = 12$ হবে সঠিক উত্তর।
অর্থাৎ, ধারাটির ১২টি পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে।
মজার কৌশল (Option Test):
পরীক্ষার হলে এতো বড় সমীকরণ সমাধান না করে আমরা সরাসরি অপশন থেকেও উত্তর বের করতে পারি।
যদি অপশন ১ থেকে $n = 12$ ধরি, তবে সমষ্টি হবে: $\frac{12}{2} \{2 \times 4 + (12-1) \times 5\} = 6 \times (8 + 55) = 6 \times 63 = 378$।
খুব সহজেই মিলে গেলো! তাই সঠিক উত্তর ১২।
অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। চলো ধাপে ধাপে বুঝে নিই:
এখানে দেওয়া আছে,
- ক্রয়মূল্য = ৩০,০০০ টাকা
- বিক্রয়মূল্য = ৪০,০০০ টাকা
আমরা জানি, লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
সুতরাং, মোট লাভ = (৪০,০০০ - ৩০,০০০) টাকা = ১০,০০০ টাকা।
সবসময় মনে রাখবে, লাভ বা ক্ষতি সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর ভিত্তি করে হিসাব করা হয়। অর্থাৎ, এখানে ৩০,০০০ টাকায় লাভ হয়েছে ১০,০০০ টাকা। শতকরা বলতে ১০০ টাকায় কত লাভ হলো তা বের করতে হবে।
ঐকিক নিয়মে সমাধান:
- ৩০,০০০ টাকায় লাভ হয় = ১০,০০০ টাকা
- ১ টাকায় লাভ হয় = $\frac{১০,০০০}{৩০,০০০}$ টাকা
- ১০০ টাকায় লাভ হয় = $\frac{১০,০০০ \times ১০০}{৩০,০০০}$ টাকা
এখন কাটাকাটি করলে আমরা পাই $\frac{১০০}{৩}$।
১০০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় $৩৩\frac{১}{৩}\%$।
তাই সঠিক উত্তর হবে $৩৩\frac{১}{৩}\%$।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
প্রথমে আমাদের বের করতে হবে ৩০ থেকে ১৫০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো কী কী।
- ১২ এর নামতা পড়লে আমরা পাই: $১২ \times ৩ = ৩৬$, $১২ \times ৪ = ৪৮$... এভাবে ১৫০ এর আগ পর্যন্ত এগোতে হবে।
- সুতরাং, ৩০ থেকে ১৫০ এর মধ্যে ১২ এর গুণিতক বা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪, ৯৬, ১০৮, ১২০, ১৩২ এবং ১৪৪।
এখানে আমরা মোট ১০টি সংখ্যা পেলাম।
এবার আমাদের দেখতে হবে এই ১০টি সংখ্যার মধ্যে কোনগুলো ৫ অথবা ৭ দ্বারা বিভাজ্য, কারণ প্রশ্নে বলা হয়েছে সেই সংখ্যাগুলো বাদ দিতে হবে।
- ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: আমরা জানি, কোনো সংখ্যার শেষে ০ বা ৫ থাকলে তা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়। আমাদের তালিকার মধ্যে ৬০ এবং ১২০ এর শেষে ০ আছে, তাই এগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য। এই ২টি সংখ্যা আমাদের তালিকা থেকে বাদ দিতে হবে।
- ৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: তালিকার বাকি সংখ্যাগুলোর মধ্যে শুধু ৮৪ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য ($৭ \times ১২ = ৮৪$)। তাই এটিও বাদ যাবে।
তাহলে, ৫ এবং ৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় আমরা মোট বাদ দিলাম ৩টি সংখ্যা (৬০, ৮৪ এবং ১২০)।
এখন, ১২ দ্বারা বিভাজ্য মোট ১০টি সংখ্যা থেকে এই ৩টি সংখ্যা বাদ দিলে বাকি থাকে: $১০ - ৩ = ৭$ টি সংখ্যা।
নিশ্চিত হওয়ার জন্য বাকি সংখ্যাগুলো দেখে নিই: ৩৬, ৪৮, ৭২, ৯৬, ১০৮, ১৩২, ১৪৪। এই ৭টি সংখ্যা ১২ দ্বারা বিভাজ্য হলেও ৫ বা ৭ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
প্রদত্ত ধারাটি হলো: $7 + 13 + 19 + 25 + \dots$
এখানে পরপর দুটি পদের পার্থক্য খেয়াল করো:
$13 - 7 = 6$
$19 - 13 = 6$
$25 - 19 = 6$
যেহেতু পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য সবসময় সমান, তাই এটি একটি সমান্তর ধারা ।
সমান্তর ধারার অংক সমাধান করার জন্য আমাদের প্রধানত দুটি বিষয় জানতে হয়:
- প্রথম পদ ($a$): ধারার শুরুর সংখ্যাটি। এখানে $a = 7$
- সাধারণ অন্তর ($d$): পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য। এখানে $d = 6$ ।
সমান্তর ধারার যেকোনো পদ বের করার একটি চমৎকার সূত্র রয়েছে: $n$-তম পদ = $a + (n - 1)d$ ।
আমাদের প্রশ্নে ৭ম পদ বের করতে বলা হয়েছে, তাই সূত্রে $n = 7$ বসিয়ে পাই:
৭ম পদ = $7 + (7 - 1) \times 6$
$= 7 + 6 \times 6$
$= 7 + 36$
$= 43$
সূত্র ছাড়াও তুমি চাইলে খুব সহজে যোগ করেও হিসাবটি মিলিয়ে নিতে পারো। যেহেতু প্রতিবার ৬ করে বাড়ছে, তাই ৪র্থ পদ $25$ এর পর থেকে হিসাব করলে দাঁড়ায়:
- ৫ম পদ: $25 + 6 = 31$
- ৬ষ্ঠ পদ: $31 + 6 = 37$
- ৭ম পদ: $37 + 6 = 43$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে 43।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
প্রদত্ত রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে আমাদের মিডল টার্ম ব্রেক (Middle Term Break) পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
- প্রথমে এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল শেষের সংখ্যা ($-6$) এর সমান হয় এবং যোগফল মাঝের পদের সহগ ($-1$) এর সমান হয়।
- সংখ্যা দুটি হলো $-3$ এবং $2$, কারণ $(-3) \times 2 = -6$ এবং $(-3) + 2 = -1$
এখন রাশিটিকে এভাবে সমাধান করা যায়:
$x^2 - x - 6$
$= x^2 - 3x + 2x - 6$
$= x(x - 3) + 2(x - 3)$
$= (x - 3)(x + 2)$
এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি রাশিটির দুটি উৎপাদক হলো $(x - 3)$ এবং $(x + 2)$। অপশনগুলোর মধ্যে $(x - 3)$ দেওয়া আছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
দেওয়া আছে, দুটি সমীকরণ:
$7x - 3y = 31$ ........ (i)
$9x - 5y = 41$ ........ (ii)
এই ধরনের গাণিতিক সমস্যা আমরা অপনয়ন পদ্ধতি বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে পারি। এখানে আমরা অপনয়ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধানটি ধাপে ধাপে শিখব।
অপনয়ন পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিতে যেকোনো একটি চলক (x বা y) এর সহগ বা গুণিতক সমান করে একটি চলককে বাদ দিতে হয়।
- প্রথমে, সমীকরণ (i) কে $y$ এর সহগ ৫ দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে $y$ এর সহগ ৩ দ্বারা গুণ করি, যাতে উভয় সমীকরণে $y$ এর মান সমান হয়।
- সমীকরণ (i) $\times 5 \Rightarrow 35x - 15y = 155$ ........ (iii)
- সমীকরণ (ii) $\times 3 \Rightarrow 27x - 15y = 123$ ........ (iv)
অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। চলো আমরা ধাপে ধাপে বিষয়টি বুঝি। - মোট কমলার পরিমাণ: $৭২০$ টি - পচে যাওয়া কমলার হার: $৩৭.৫\%$ আমাদের বের করতে হবে কতগুলো কমলা ভালো আছে। এটি আমরা দুটি সহজ নিয়মে বের করতে পারি। প্রথম নিয়ম (শতকরার ম্যাজিক টেবিল ব্যবহার করে): শতকরার ম্যাজিক টেবিল অনুযায়ী আমরা জানি, $১২.৫\% = \frac{১}{৮}$। এর তিনগুণ হলো $৩৭.৫\%$, তাই $৩৭.৫\% = \frac{৩}{৮}$ । - পচে যাওয়া কমলার সংখ্যা = $৭২০ \times \frac{৩}{৮} = ২৭০$ টি। - ভালো কমলার সংখ্যা = (মোট কমলা) - (পচে যাওয়া কমলা) - ভালো কমলার সংখ্যা = $৭২০ - ২৭০ = ৪৫০$ টি। দ্বিতীয় নিয়ম (সরাসরি শতকরা থেকে): - আমরা জানি, মোট কমলা সবসময় $১০০\%$ হয়। - যদি $৩৭.৫\%$ কমলা পচে যায়, তবে ভালো কমলা আছে = $(১০০ - ৩৭.৫)\% = ৬২.৫\%$ - ম্যাজিক টেবিল অনুযায়ী, $৬২.৫\% = \frac{৫}{৮}$ । - সুতরাং ভালো কমলা = $৭২০ \times \frac{৫}{৮} = ৫ \times ৯০ = ৪৫০$ টি। অতএব, ভালো অবস্থায় থাকা কমলার সঠিক সংখ্যা ৪৫০ টি। সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু বের করার নিয়ম হলো, রাশিগুলোর উৎপাদকের মধ্যে শুধু কমন রাশিগুলো নিতে হবে । এক্ষেত্রে একই চলক বা অক্ষর বিশিষ্ট রাশি থাকলে সর্বনিম্ন ঘাত বা পাওয়ার বিশিষ্ট রাশিটি বেছে নিতে হয় । এখানে প্রশ্ন প্রদত্ত রাশিগুলো হলো: - ১ম রাশি = $x^{3}$ - ২য় রাশি = $x^{2}y$ - ৩য় রাশি = $x^{2}y^{2}$ এখন খেয়াল করো, তিনটি রাশির প্রতিটিতেই '$x$' আছে, তাই এটি একটি কমন উৎপাদক। কিন্তু ২য় ও ৩য় রাশিতে '$y$' থাকলেও ১ম রাশিতে নেই, তাই '$y$' কমন উৎপাদক নয় । যেহেতু শুধু '$x$' কমন, তাই আমাদের '$x$'-এর পাওয়ারগুলোর দিকে তাকাতে হবে। এখানে $x$-এর পাওয়ারগুলো হলো যথাক্রমে 3, 2 এবং 2। গ.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম অনুযায়ী সবচেয়ে ছোট বা সর্বনিম্ন ঘাত নিতে হবে, যা হলো 2 । সুতরাং, রাশি ৩টির সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতের গুণফল অর্থাৎ নির্ণেয় গ.সা.গু হবে $x^{2}$ । সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
একটি মই যখন দেয়ালের সাথে হেলানো থাকে, তখন মই, দেয়াল এবং ভূমি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
এখানে দেওয়া আছে,
- দেয়াল ও মইয়ের মধ্যবর্তী কোণ = $৬০^\circ$
- দেয়ালটি ভূমির সাথে লম্বভাবে থাকে, তাই দেয়াল ও ভূমির মধ্যবর্তী কোণ = $৯০^\circ$
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $১৮০^\circ$ হওয়ায়, মই ও ভূমির মধ্যবর্তী কোণ হবে = $১৮০^\circ - (৯০^\circ + ৬০^\circ) = ৩০^\circ$
আমরা জানি, $৩০^\circ-৬০^\circ-৯০^\circ$ কোণ বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের একটি জ্যামিতিক নিয়ম হলো- $৩০^\circ$ কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য সবসময় অতিভুজের অর্ধেক হয়। অর্থাৎ, অতিভুজ হবে $৩০^\circ$ কোণের বিপরীত বাহুর দ্বিগুণ।
এখানে, $৩০^\circ$ কোণের বিপরীত বাহুটি হলো দেয়াল, যার উচ্চতা ১০ মিটার এবং মইটি হলো অতিভুজ।
তাহলে, মইয়ের দৈর্ঘ্য = $২ \times$ দেয়ালের উচ্চতা
$\Rightarrow$ মইয়ের দৈর্ঘ্য = $২ \times ১০ = ২০$ মিটার।
সুতরাং, মইটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার।
চলো অংকটা খুব সহজে ধাপে ধাপে বুঝে নিই!
এখানে আমাদের কাছে মোট প্রতিযোগী আছে $5$ জন এবং পুরস্কার আছে $3$ টি। একজন প্রতিযোগী একটির বেশি পুরস্কার পাবে না ধরে নিয়ে আমরা ধাপে ধাপে পুরস্কারগুলো বিতরণ করব:
- প্রথম পুরস্কারটি আমরা ৫ জন প্রতিযোগীর যে কাউকে দিতে পারি। তাই প্রথম পুরস্কারটি দেওয়ার উপায় = $5$ টি।
- প্রথম পুরস্কারটি একজনকে দেওয়া হয়ে গেলে, বাকি রইল ৪ জন প্রতিযোগী। এখন দ্বিতীয় পুরস্কারটি এই ৪ জনের যে কাউকে দেওয়া যেতে পারে। তাই দ্বিতীয় পুরস্কারটি দেওয়ার উপায় = $4$ টি।
- একইভাবে, দ্বিতীয় পুরস্কারটি দেওয়ার পর প্রতিযোগী বাকি রইল ৩ জন। তৃতীয় পুরস্কারটি এই ৩ জনের যে কাউকে দেওয়া যেতে পারে। তাই তৃতীয় পুরস্কারটি দেওয়ার উপায় = $3$ টি।
এখন, মোট কতভাবে পুরস্কারগুলো বিতরণ করা যায় তা বের করতে হলে এই তিনটি উপায় গুণ করতে হবে।
- মোট উপায় = $5 \times 4 \times 3 = 60$ সূত্রের সাহায্যে (বিন্যাস বা Permutation):
যখন $n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে $r$ সংখ্যক জিনিস নিয়ে সাজাতে বা বিতরণ করতে হয়, তখন আমরা $^nP_r$ সূত্রটি ব্যবহার করি।
এখানে, মোট প্রতিযোগী $n = 5$ এবং পুরস্কার $r = 3$
আমরা জানি, $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
অতএব, মোট উপায় = $^5P_3$
$= \frac{5!}{(5-3)!}$
$= \frac{5!}{2!}$
$= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!}$
$= 5 \times 4 \times 3 = 60$
তাই সঠিক উত্তর হবে $60$।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
প্রথমে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এরপর সেই ক্ষেত্রফল থেকে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং সবশেষে বর্গক্ষেত্রের পরিধি বের করতে হবে।
- দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৪০ সে.মি. - আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১২ সে.মি. কম। সুতরাং, প্রস্থ = (৪০ - ১২) = ২৮ সে.মি. - আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ) = $৪০ \times ২৮$ = ১১২০ বর্গ সে.মি.
প্রশ্নে বলা হয়েছে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের $\frac{৭}{২০}$ অংশ। কিন্তু এই মানটি ব্যবহার করলে আমরা পাই: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $১১২০ \times \frac{৭}{২০} = ৩৯২$ বর্গ সে.মি., যা দিয়ে হিসাব করলে সঠিক অপশন পাওয়া যায় না।
সঠিক উত্তর ১১২ সে.মি. পেতে হলে ভগ্নাংশটি $\frac{৭}{১০}$ হতে হবে। চলো হিসাব করে দেখি: - যদি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের $\frac{৭}{১০}$ অংশ হয়, তবে - বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $১১২০ \times \frac{৭}{১০}$ = ৭৮৪ বর্গ সে.মি. - আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(\text{এক বাহুর দৈর্ঘ্য})^২$ - সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৭৮৪}$ = ২৮ সে.মি. - বর্গক্ষেত্রের পরিধি বা পরিসীমার সূত্র হলো: $৪ \times \text{এক বাহুর দৈর্ঘ্য}$ - অতএব, বর্গক্ষেত্রটির পরিধি = $৪ \times ২৮$ = ১১২ সে.মি.
তাই গাণিতিকভাবে বলা যায়, প্রশ্নে ভগ্নাংশটি টাইপিং ভুলের কারণে $\frac{৭}{২০}$ লেখা হয়েছে, এটি মূলত $\frac{৭}{১০}$ হবে এবং এর ভিত্তিতেই সঠিক উত্তর ১১২ সে.মি. আসে।
ধরে নাও, সম্পূর্ণ কাজটি হলো ১ অংশ। অংকটি আমরা খুব সহজেই দুটি নিয়মে সমাধান করতে পারি। সাধারণ বা বিস্তারিত নিয়ম: - রফিক ১০ দিনে করতে পারে কাজের ১ অংশ। - সুতরাং, রফিক ১ দিনে করতে পারবে কাজের $\frac{১}{১০}$ অংশ। - একইভাবে, শফিক ১৫ দিনে করতে পারে কাজের ১ অংশ। - সুতরাং, শফিক ১ দিনে করতে পারবে কাজের $\frac{১}{১৫}$ অংশ। এখন, তারা দুজনে একত্রে ১ দিনে কতটুকু কাজ করে তা বের করতে হবে। - রফিক ও শফিক একত্রে ১ দিনে করে = ($\frac{১}{১০} + \frac{১}{১৫}$) অংশ। - লসাগু করে যোগ করলে পাই = $\frac{৩ + ২}{৩০} = \frac{৫}{৩০} = \frac{১}{৬}$ অংশ। তাহলে দেখতে পাচ্ছো, তারা একত্রে কাজের $\frac{১}{৬}$ অংশ করে ১ দিনে। - অতএব, তারা একত্রে সম্পূর্ণ বা ১ অংশ কাজটি করবে = ৬ দিনে।
শর্টকাট বা ম্যাজিক নিয়ম: যখন দুজনের আলাদা আলাদা কাজ করার সময় দেওয়া থাকে এবং একত্রে কাজ করার সময় বের করতে বলা হয়, তখন আমরা একটি মজার সূত্র ব্যবহার করতে পারি। - সূত্রটি হলো: $\frac{A \times B}{A + B}$ দিন। এখানে, A হলো প্রথম জনের সময় (১০ দিন) এবং B হলো দ্বিতীয় জনের সময় (১৫ দিন)। - মান বসালে পাই: $\frac{১০ \times ১৫}{১০ + ১৫}$ - $\frac{১৫০}{২৫} = ৬$ দিন। এভাবে খুব সহজেই আমরা উত্তর পেয়ে গেলাম ৬ দিন!
অংকটি সমাধান করা খুব সহজ! চলো আমরা ধাপে ধাপে এটি শিখে নিই।
এখানে আমাদের যে তথ্যগুলো দেওয়া আছে:
- আসল (P) = ৩০০০ টাকা
- সময় (n) = ৬ বছর
- মুনাফার হার (r) = ৭%
আমরা সরল মুনাফা বের করার সাধারণ সূত্রটি জানি : মুনাফা (I) = $\frac{P \times n \times r}{100}$
প্রথমে নিচের ১০০ দিয়ে উপরের ৩০০০-কে ভাগ করলে আমরা পাব ৩০।
এখন শুধু গুণ করার পালা:
$= 30 \times 6 \times 7$
$= 180 \times 7$ $= ১২৬০$ টাকা
ম্যাজিক বা শর্টকাট নিয়ম:
অংকটি মুখে মুখে খুব দ্রুত করার একটা মজার উপায় আছে ।
যেহেতু ১ বছরে মুনাফা হয় ৭%, তাহলে ৬ বছরে মোট মুনাফা হবে: $6 \times 7 = 42\%$
এখন শুধু ৩০০০ টাকার ৪২% বের করলেই উত্তর হয়ে যাবে!
$3000 \times \frac{42}{100} = 1260$ টাকা।
তাপমাত্রা বাড়লে ধাতব পরিবাহীর রোধ বাড়ে । এর মূল কারণ হলো: - তাপমাত্রা বাড়লে পরিবাহীর ভেতরের পরমাণুগুলোর কম্পন বা গতিশক্তি বেড়ে যায়। - ফলে বিদ্যুৎ প্রবাহের সময় মুক্ত ইলেকট্রনগুলো চলার পথে পরমাণুগুলোর সাথে বেশি মাত্রায় সংঘর্ষ বা বাধার সম্মুখীন হয়। - এই বাধাই হলো রোধ, তাই বাধার পরিমাণ বাড়ার কারণে পরিবাহীতে রোধ বৃদ্ধি পায়। সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
পাটকলে পাটের গাঁট বা বেল খোলার পর বিভিন্ন মানের পাট একত্রে মেশানোর প্রাথমিক প্রক্রিয়াকে Batching বলে। - এই ধাপে পাটের মান সুষম করা হয়। - আঁশ নরম করতে তেল ও পানির মিশ্রণ দেওয়া হয়। অন্যদিকে Carding-এ আঁশ ছাড়ানো এবং Spinning-এ সুতা কাটা হয়। (নোট: এই তথ্যটি আমার দেওয়া সোর্সে নেই, তাই আপনি এটি স্বাধীনভাবে যাচাই করতে পারেন।) সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
আমাদের শরীরে কোনো অংশ কেটে গেলে অনুচক্রিকা বা Platelet রক্ত জমাট বাঁধতে সাহায্য করে । - এরা আকারে অতি ক্ষুদ্র এবং এদের কোষে কোনো নিউক্লিয়াস থাকে না । - রক্ত জমাট বাঁধার জন্য এতে ৪টি প্রধান ফ্যাক্টর কাজ করে । অন্যদিকে লোহিত কণিকা অক্সিজেন পরিবহন করে এবং শ্বেত কণিকা রোগজীবাণু ধ্বংস করে । সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
যখন এসিড এবং ক্ষার একসাথে মেশানো হয়, তখন তারা রাসায়নিকভাবে যুক্ত হয়ে একে অপরের ধর্ম নষ্ট করে দেয়। এই প্রক্রিয়াটিকে প্রশমন বিক্রিয়া বলে ।
- এই বিক্রিয়ার ফলে সম্পূর্ণ নতুন ধর্মবিশিষ্ট লবণ ও পানি উৎপন্ন হয় ।
- যেমন: হাইড্রোক্লোরিক এসিড (HCl) ও সোডিয়াম হাইড্রোক্সাইড (NaOH) মিলে লবণ (NaCl) ও পানি তৈরি করে ।
সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
ভিটামিন-ডি আমাদের হাড় ও দাঁতের জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এটি উদ্ভিদ ও প্রাণী উভয় উৎস থেকেই পাওয়া যায় । - প্রাণিজ উৎস: মাছের তেল, যকৃৎ, ডিমের কুসুম ও দুধ । - উদ্ভিজ উৎস: ভোজ্য তেল ও মাশরুম। এছাড়া সূর্যের অতিবেগুনি রশ্মির সাহায্যে আমাদের ত্বকও এটি তৈরি করতে পারে। তাই সঠিক উত্তরটি প্রাণিজ ও উদ্ভিদ উভয়ই। সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
পরমাণুর যেকোনো কক্ষপথে সর্বোচ্চ ইলেকট্রন সংখ্যা বের করার সূত্রটি হলো 2n²। এখানে 'n' হলো কক্ষপথের নম্বর বা প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা। - প্রথম কক্ষপথ (n=1) এর জন্য: 2 × (1)² = ২ টি। - দ্বিতীয় কক্ষপথ (n=2) এর জন্য: 2 × (2)² = ৮ টি। এভাবেই হিসাব করে দেখা যায় দ্বিতীয় কক্ষপথে সর্বোচ্চ ৮টি ইলেকট্রন থাকতে পারে । সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
দুধে ল্যাকটিক এসিড থাকে । যেহেতু দুধ ব্যাকটেরিয়ার সাহায্যে গেঁজিয়ে দই তৈরি হয়, তাই দইয়ে এই এসিড পাওয়া যায়।
অন্যান্য অপশনের ক্ষেত্রে:
- লেবুর রসে সাইট্রিক এসিড থাকে ।
- ভিনেগার হলো অ্যাসিটিক এসিডের জলীয় দ্রবণ ।
তাই সঠিক উত্তরটি হলো দই।
সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান
একুশে পদক বাংলাদেশের অন্যতম সম্মানজনক এবং দ্বিতীয় সর্বোচ্চ বেসামরিক পুরস্কার, যা ১৯৭৬ সালে প্রবর্তিত হয়। - ১৯৫২ সালের মহান ভাষা আন্দোলনের বীর শহীদদের স্মৃতির প্রতি শ্রদ্ধা জানাতে এই পুরস্কারটি চালু করা হয়। - দেশ ও জাতির কল্যাণে সাহিত্য, সংস্কৃতি, শিক্ষা, শিল্পকলা, সাংবাদিকতাসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে অসামান্য অবদানের স্বীকৃতিস্বরূপ বিশিষ্ট ব্যক্তি বা প্রতিষ্ঠানকে এটি প্রদান করা হয়।
(নোট: এই তথ্যগুলো আপনার প্রদত্ত সোর্স ফাইলে উল্লেখ নেই, তাই এটি বাইরের সাধারণ জ্ঞান থেকে প্রদান করা হয়েছে, যা আপনি যাচাই করে নিতে পারেন।) সোর্সঃ Basic View (New Edition)
- নোবেল শান্তি পুরস্কার প্রতি বছর নরওয়ের রাজধানী অসলো থেকে প্রদান করা হয়।
- আলফ্রেড নোবেলের উইল বা ইচ্ছাপত্র অনুযায়ী শান্তি ছাড়া বাকি ৫টি বিষয়ের (পদার্থ, রসায়ন, চিকিৎসা, সাহিত্য ও অর্থনীতি) নোবেল পুরস্কার সুইডেনের রাজধানী স্টকহোম থেকে দেওয়া হয়।
- শান্তিতে নোবেল বিজয়ীদের নির্বাচন করে থাকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট নরওয়েজিয়ান নোবেল কমিটি।
সোর্সঃ Basic View (New Edition)
ভারত ও শ্রীলঙ্কাকে পৃথক করেছে পক প্রণালি । প্রণালি হলো দুটি স্থলভাগকে পৃথককারী সরু জলপথ। অন্য অপশনগুলো হলো: - জিব্রাল্টার: আফ্রিকা ও ইউরোপকে পৃথক করেছে । - সুয়েজ খাল: ভূমধ্যসাগর ও লোহিত সাগরকে যুক্ত করেছে । - মালাক্কা: সুমাত্রা ও মালয়েশিয়াকে পৃথক করেছে । সোর্সঃ প্রফেসর'স MCQ Review।
ইউরোপীয় ইউনিয়ন (EU) হলো ইউরোপের দেশগুলোর একটি শক্তিশালী রাজনৈতিক ও অর্থনৈতিক জোট।
- জার্মানি এবং ইতালি এই জোটের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ও প্রতিষ্ঠাতা সদস্য।
- যুক্তরাজ্য একসময় ইইউ-এর সদস্য থাকলেও ২০২০ সালের ৩১ জানুয়ারি 'ব্রেক্সিট' (Brexit)-এর মাধ্যমে তারা এই জোট থেকে আনুষ্ঠানিকভাবে বের হয়ে যায় ।
- অন্যদিকে নরওয়ে ইউরোপের অত্যন্ত উন্নত ও সমৃদ্ধ একটি দেশ হলেও তারা কখনোই ইউরোপীয় ইউনিয়নের সদস্য হয়নি। জনগণের সরাসরি ভোটের (গণভোট) মাধ্যমে তারা ইইউ-তে যোগ না দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছিল। তাই এখানে সঠিক উত্তরটি হবে নরওয়ে।
সোর্সঃ Basic View (New Edition)
পৃথিবীতে সর্বপ্রথম জাতীয় পতাকার ব্যবহার শুরু হয় ডেনমার্কে। তাদের জাতীয় পতাকার নাম 'ডান্নেব্রগ' (Dannebrog), যা বিশ্বের সবচেয়ে পুরোনো এবং বর্তমানেও ব্যবহৃত হওয়া জাতীয় পতাকা। - ১২১৯ সালে ডেনিশ রাজা দ্বিতীয় ভালদেমারের শাসনামলে এই পতাকার প্রথম ব্যবহার দেখা যায়। - লোককথা অনুযায়ী, একটি যুদ্ধের সময় লাল পটভূমিতে সাদা ক্রস আঁকা এই পতাকাটি আকাশ থেকে নেমে এসেছিল। এর পর থেকেই এটি ডেনমার্কের প্রতীক হিসেবে ব্যবহৃত হচ্ছে এবং এটিই পৃথিবীর প্রাচীনতম পতাকা হিসেবে স্বীকৃত। সোর্সঃ Basic View (New Edition)
'মহুয়া' পালাটি মূলত বিখ্যাত ময়মনসিংহ গীতিকার প্রথম খণ্ডের একটি অনবদ্য আখ্যান। - এই লোকপালাটির রচয়িতা হলেন দ্বিজ কানাই। - ড. দীনেশচন্দ্র সেন বৃহত্তর ময়মনসিংহ অঞ্চল থেকে এই লোকগাঁথাগুলো সংগ্রহ করে সম্পাদনা করেন। - বৃহত্তর ময়মনসিংহ জেলার নেত্রকোনা, কিশোরগঞ্জ বা ভাটি অঞ্চলের মানুষের মুখে মুখে এই পালাগানগুলো প্রচলিত ছিল। যেহেতু এই পালাটির উৎপত্তি এবং বিস্তার ময়মনসিংহ অঞ্চলে, তাই এটি স্বাভাবিকভাবেই ময়মনসিংহ অঞ্চলের আঞ্চলিক ভাষা বা উপভাষায় রচিত হয়েছে। সোর্সঃ অগ্রদূত বাংলা সাহিত্য -১.pdf
বাংলাদেশের প্রথম নারী প্রধানমন্ত্রী হলেন বেগম খালেদা জিয়া। তিনি ১৯৯১ সালের নির্বাচনে জয়লাভ করে প্রথমবার এই পদে বসেন। তিনি শুধু বাংলাদেশেরই নয়, মুসলিম বিশ্বের দ্বিতীয় নারী প্রধানমন্ত্রী হওয়ার গৌরব অর্জন করেন। - শেখ হাসিনা: তিনি বাংলাদেশের দ্বিতীয় নারী প্রধানমন্ত্রী এবং সবচেয়ে দীর্ঘ সময় ধরে এই দায়িত্ব পালন করেছেন। - ড. শিরীন শারমিন চৌধুরী: তিনি বাংলাদেশের জাতীয় সংসদের প্রথম নারী স্পিকার। সোর্সঃ Basic View (New Edition)
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
ইয়েন হলো জাপানের দাপ্তরিক মুদ্রা । আন্তর্জাতিক বাণিজ্যে এটি অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি মুদ্রা।
অন্যান্য অপশনে থাকা দেশগুলোর মুদ্রার নামগুলোও জেনে রাখা দরকার:
- ফ্রান্স: ইউরো (ইউরোপীয় ইউনিয়নের সদস্য হওয়ায় তারা এই মুদ্রা ব্যবহার করে)।
- অস্ট্রেলিয়া: অস্ট্রেলিয়ান ডলার ।
- ইন্দোনেশিয়া: রুপিয়াহ ।
তাই এখানে সঠিক উত্তর হবে জাপান ।
সোর্স: Basic View (New Edition)
চাকরি পরীক্ষায় ভাল ফলাফল পেতে নিয়মিত অনুশীলন ও লাইভ পরীক্ষার কোন বিকল্প নেই।
অনুশীলন প্রশ্ন ব্যাংক বিষয়ভিত্তিক, টপিক ও সাবটপিক আকারে সাজানো। ২০০৫ থেকে সব জব সলিউশন ও টপিকভিত্তিক জব সলিউশন বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ, রুটিন ভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা, পিডিএফ লেকচার শীট।
২০০৫-২০২৬ সাল পর্যন্ত টপিক ও সাবটপিক আকারে জব শুলুশন্স প্রশ্ন যোগ করা হয়েছে, ১২তম-২০তম গ্রেডের পরীক্ষার্থীরা শুধু এইগুলো পড়লে হবে, সব প্রশ্ন ইউনিক সর্বমোট ২৫ হাজার হবে। প্রশ্ন ব্যাংক -> অনুশীলন -> এরপর উপরের ডানে একটা হলুদ বাটন ক্লিক করে job solutions ফিল্টার করে নিবেন। প্রতি সপ্তাহের নতুন জব প্রশ্ন টপিক ও সাবটপিক আকারে যোগ করা হয়।
✅ বর্তমান কোর্সঃ
১) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন লেকচারশীট ভিত্তিক ২) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন কলেজ পর্যায় (রাষ্ট্রবিজ্ঞান ৩) ৫১ তম বিসিএস প্রস্তুতি ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস ৪) টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের) ৫) প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ) ৬) ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতির লং কোর্স (২৭৬ দিন) ৭) সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী ৮) স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) সমন্বিত প্রস্তুতি রুটিন
✅ আপকামিং রুটিনঃ - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে। - ১৯তম সমাজ বিজ্ঞান ও গ্রন্থগার
