$sin ω_{o} tu(t)$ এর Unilateral Laplace transform হবে?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option D
ল্যাপ্লাস রূপান্তরের সংজ্ঞানুযায়ী, কোনো ফাংশন \(f(t)\)-এর ইউনিলেটারাল ল্যাপ্লাস রূপান্তর (Unilateral Laplace Transform) হলো: \[L\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\]
এখানে প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(f(t) = \sin(\omega_0 t) u(t)\)।
এখানে \(u(t)\) হলো একটি ইউনিট স্টেপ ফাংশন (Unit Step Function)। এর মান \(t \ge 0\) এর জন্য \(1\) এবং \(t < 0\) এর জন্য \(0\) হয়।
তাই সমাকলনের (Integration) সীমা \(0\) থেকে \(\infty\) পর্যন্ত হবে।
এখন সংজ্ঞার সমীকরণে ফাংশনটির মান বসিয়ে পাই: \[L\{\sin(\omega_0 t) u(t)\} = \int_{0}^{\infty} \sin(\omega_0 t) e^{-st} dt\]
আমরা জানি, ইউলারের সূত্র (Euler's Formula) অনুসারে: \[\sin(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j}\]
এই মানটি উপরে বসিয়ে পাই: \[L\{\sin(\omega_0 t) u(t)\} = \int_{0}^{\infty} ( \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j} ) e^{-st} dt\]
ধ্রুবক পদ \(\frac{1}{2j}\) বাইরে নিয়ে এবং গুণফল সরল করে পাই: \[= \frac{1}{2j} \int_{0}^{\infty} ( e^{-(s-j\omega_0)t} - e^{-(s+j\omega_0)t} ) dt\]
এখন আলাদাভাবে প্রতিটি পদের সমাকলন (Integration) করে পাই: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{e^{-(s-j\omega_0)t}}{-(s-j\omega_0)} - \frac{e^{-(s+j\omega_0)t}}{-(s+j\omega_0)} ]_{0}^{\infty}\]
সীমার মান (Limits) বসিয়ে পাই (যেখানে \(s > 0\) এর জন্য উচ্চসীমা \(\infty\) বসালে পদগুলো শূন্য হয়ে যায়): \[= \frac{1}{2j} [ 0 - ( \frac{1}{-(s-j\omega_0)} - \frac{1}{-(s+j\omega_0)} ) ]\]
মাইনাস চিহ্নগুলো সরল করার পর সমীকরণটি দাঁড়ায়: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{1}{s-j\omega_0} - \frac{1}{s+j\omega_0} ]\]
এবার হর দুটির লসাগু করে পাই: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{(s+j\omega_0) - (s-j\omega_0)}{(s-j\omega_0)(s+j\omega_0)} ]\]
লব সরল করে পাই: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{2j\omega_0}{s^2 - (j\omega_0)^2} ]\]
আমরা জানি, কাল্পনিক একক \(j^2 = -1\)। অতএব: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{2j\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} ]\]
লব ও হরের \(2j\) কাটাকাটি করার পর অবশিষ্ট থাকে: \[= \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\]
সুতরাং, \(\sin(\omega_0 t) u(t)\) এর Unilateral Laplace transform হলো \(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\)।
- এটি একটি আদর্শ ল্যাপ্লাস রূপান্তর (Standard Laplace Transform) সূত্র। সাধারণ নিয়মে সাইন ফাংশনের ল্যাপ্লাস রূপান্তর করার সময় লবে সবসময় কোণ-এর সহগ (\(\omega_0\)) এবং হরে \(s^2\) এর সাথে কোণের সহগের বর্গ (\(\omega_0^2\)) যোগ করতে হয়।
- সঠিক উত্তর: অপশন ৪: \(\frac{ω_{o}}{s^{2}+ω_{o}^{2}}\)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
এখানে প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(f(t) = \sin(\omega_0 t) u(t)\)।
এখানে \(u(t)\) হলো একটি ইউনিট স্টেপ ফাংশন (Unit Step Function)। এর মান \(t \ge 0\) এর জন্য \(1\) এবং \(t < 0\) এর জন্য \(0\) হয়।
তাই সমাকলনের (Integration) সীমা \(0\) থেকে \(\infty\) পর্যন্ত হবে।
এখন সংজ্ঞার সমীকরণে ফাংশনটির মান বসিয়ে পাই: \[L\{\sin(\omega_0 t) u(t)\} = \int_{0}^{\infty} \sin(\omega_0 t) e^{-st} dt\]
আমরা জানি, ইউলারের সূত্র (Euler's Formula) অনুসারে: \[\sin(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j}\]
এই মানটি উপরে বসিয়ে পাই: \[L\{\sin(\omega_0 t) u(t)\} = \int_{0}^{\infty} ( \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j} ) e^{-st} dt\]
ধ্রুবক পদ \(\frac{1}{2j}\) বাইরে নিয়ে এবং গুণফল সরল করে পাই: \[= \frac{1}{2j} \int_{0}^{\infty} ( e^{-(s-j\omega_0)t} - e^{-(s+j\omega_0)t} ) dt\]
এখন আলাদাভাবে প্রতিটি পদের সমাকলন (Integration) করে পাই: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{e^{-(s-j\omega_0)t}}{-(s-j\omega_0)} - \frac{e^{-(s+j\omega_0)t}}{-(s+j\omega_0)} ]_{0}^{\infty}\]
সীমার মান (Limits) বসিয়ে পাই (যেখানে \(s > 0\) এর জন্য উচ্চসীমা \(\infty\) বসালে পদগুলো শূন্য হয়ে যায়): \[= \frac{1}{2j} [ 0 - ( \frac{1}{-(s-j\omega_0)} - \frac{1}{-(s+j\omega_0)} ) ]\]
মাইনাস চিহ্নগুলো সরল করার পর সমীকরণটি দাঁড়ায়: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{1}{s-j\omega_0} - \frac{1}{s+j\omega_0} ]\]
এবার হর দুটির লসাগু করে পাই: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{(s+j\omega_0) - (s-j\omega_0)}{(s-j\omega_0)(s+j\omega_0)} ]\]
লব সরল করে পাই: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{2j\omega_0}{s^2 - (j\omega_0)^2} ]\]
আমরা জানি, কাল্পনিক একক \(j^2 = -1\)। অতএব: \[= \frac{1}{2j} [ \frac{2j\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} ]\]
লব ও হরের \(2j\) কাটাকাটি করার পর অবশিষ্ট থাকে: \[= \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\]
সুতরাং, \(\sin(\omega_0 t) u(t)\) এর Unilateral Laplace transform হলো \(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\)।
- এটি একটি আদর্শ ল্যাপ্লাস রূপান্তর (Standard Laplace Transform) সূত্র। সাধারণ নিয়মে সাইন ফাংশনের ল্যাপ্লাস রূপান্তর করার সময় লবে সবসময় কোণ-এর সহগ (\(\omega_0\)) এবং হরে \(s^2\) এর সাথে কোণের সহগের বর্গ (\(\omega_0^2\)) যোগ করতে হয়।
- সঠিক উত্তর: অপশন ৪: \(\frac{ω_{o}}{s^{2}+ω_{o}^{2}}\)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
