The product of two numbers is 2028 and their H.C.F. is 13. The number of such pairs is:
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, সংখ্যা দুটি $13a$ এবং $13b$।
এখানে $13$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. (H.C.F.) এবং $a$ ও $b$ হলো দুটি সহ-মৌলিক (co-prime) সংখ্যা। অর্থাৎ $a$ ও $b$-এর মধ্যে $1$ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল = $2028$
$\therefore 13a \times 13b = 2028$
বা, $169ab = 2028$
বা, $ab = \frac{2028}{169}$
বা, $ab = 12$
এখন, $12$-কে দুটি সংখ্যার গুণফলরূপে প্রকাশ করা যায় এমন জোড়গুলো হলো:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 6 = 12$
$3 \times 4 = 12$
যেহেতু $a$ ও $b$ সহ-মৌলিক হতে হবে, তাই আমাদের দেখতে হবে কোন জোড়গুলো সহ-মৌলিক:
১। $(1, 12)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
২। $(2, 6)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়াও সাধারণ উৎপাদক $2$ আছে (উভয়ই ২ দ্বারা বিভাজ্য)। তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
৩। $(3, 4)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্য জোড়ের সংখ্যা ২টি।
জোড়গুলো হলো: $(13 \times 1, 13 \times 12)$ বা $(13, 156)$ এবং $(13 \times 3, 13 \times 4)$ বা $(39, 52)$।
শর্টকাট টেকনিক:
দুটি সংখ্যার গুণফল এবং গ.সা.গু. দেওয়া থাকলে সম্ভাব্য জোড় বের করার নিয়ম:
ধাপ ১: সহ-মৌলিক সংখ্যা দুটির গুণফল বের করা।
সূত্র: $ab = \frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{(\text{গ.সা.গু.})^2}$
এখানে, $ab = \frac{2028}{13^2} = \frac{2028}{169} = 12$
ধাপ ২: প্রাপ্ত ভাগফলকে ($12$) এমন দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে ভাঙতে হবে যেন তারা পরস্পর সহ-মৌলিক হয়।
$12 = 1 \times 12$ (সহ-মৌলিক) ✅
$12 = 2 \times 6$ (সহ-মৌলিক নয়) ❌
$12 = 3 \times 4$ (সহ-মৌলিক) ✅
অতএব, মোট জোড় সংখ্যা = ২টি।
এখানে $13$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. (H.C.F.) এবং $a$ ও $b$ হলো দুটি সহ-মৌলিক (co-prime) সংখ্যা। অর্থাৎ $a$ ও $b$-এর মধ্যে $1$ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল = $2028$
$\therefore 13a \times 13b = 2028$
বা, $169ab = 2028$
বা, $ab = \frac{2028}{169}$
বা, $ab = 12$
এখন, $12$-কে দুটি সংখ্যার গুণফলরূপে প্রকাশ করা যায় এমন জোড়গুলো হলো:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 6 = 12$
$3 \times 4 = 12$
যেহেতু $a$ ও $b$ সহ-মৌলিক হতে হবে, তাই আমাদের দেখতে হবে কোন জোড়গুলো সহ-মৌলিক:
১। $(1, 12)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
২। $(2, 6)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়াও সাধারণ উৎপাদক $2$ আছে (উভয়ই ২ দ্বারা বিভাজ্য)। তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
৩। $(3, 4)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্য জোড়ের সংখ্যা ২টি।
জোড়গুলো হলো: $(13 \times 1, 13 \times 12)$ বা $(13, 156)$ এবং $(13 \times 3, 13 \times 4)$ বা $(39, 52)$।
শর্টকাট টেকনিক:
দুটি সংখ্যার গুণফল এবং গ.সা.গু. দেওয়া থাকলে সম্ভাব্য জোড় বের করার নিয়ম:
ধাপ ১: সহ-মৌলিক সংখ্যা দুটির গুণফল বের করা।
সূত্র: $ab = \frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{(\text{গ.সা.গু.})^2}$
এখানে, $ab = \frac{2028}{13^2} = \frac{2028}{169} = 12$
ধাপ ২: প্রাপ্ত ভাগফলকে ($12$) এমন দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে ভাঙতে হবে যেন তারা পরস্পর সহ-মৌলিক হয়।
$12 = 1 \times 12$ (সহ-মৌলিক) ✅
$12 = 2 \times 6$ (সহ-মৌলিক নয়) ❌
$12 = 3 \times 4$ (সহ-মৌলিক) ✅
অতএব, মোট জোড় সংখ্যা = ২টি।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions