The product of two numbers is 2028 and their H.C.F. is 13. The number of such pairs is:
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, সংখ্যা দুটি $13a$ এবং $13b$।
এখানে $13$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. (H.C.F.) এবং $a$ ও $b$ হলো দুটি সহ-মৌলিক (co-prime) সংখ্যা। অর্থাৎ $a$ ও $b$-এর মধ্যে $1$ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল = $2028$
$\therefore 13a \times 13b = 2028$
বা, $169ab = 2028$
বা, $ab = \frac{2028}{169}$
বা, $ab = 12$
এখন, $12$-কে দুটি সংখ্যার গুণফলরূপে প্রকাশ করা যায় এমন জোড়গুলো হলো:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 6 = 12$
$3 \times 4 = 12$
যেহেতু $a$ ও $b$ সহ-মৌলিক হতে হবে, তাই আমাদের দেখতে হবে কোন জোড়গুলো সহ-মৌলিক:
১। $(1, 12)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
২। $(2, 6)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়াও সাধারণ উৎপাদক $2$ আছে (উভয়ই ২ দ্বারা বিভাজ্য)। তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
৩। $(3, 4)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্য জোড়ের সংখ্যা ২টি।
জোড়গুলো হলো: $(13 \times 1, 13 \times 12)$ বা $(13, 156)$ এবং $(13 \times 3, 13 \times 4)$ বা $(39, 52)$।
শর্টকাট টেকনিক:
দুটি সংখ্যার গুণফল এবং গ.সা.গু. দেওয়া থাকলে সম্ভাব্য জোড় বের করার নিয়ম:
ধাপ ১: সহ-মৌলিক সংখ্যা দুটির গুণফল বের করা।
সূত্র: $ab = \frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{(\text{গ.সা.গু.})^2}$
এখানে, $ab = \frac{2028}{13^2} = \frac{2028}{169} = 12$
ধাপ ২: প্রাপ্ত ভাগফলকে ($12$) এমন দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে ভাঙতে হবে যেন তারা পরস্পর সহ-মৌলিক হয়।
$12 = 1 \times 12$ (সহ-মৌলিক) ✅
$12 = 2 \times 6$ (সহ-মৌলিক নয়) ❌
$12 = 3 \times 4$ (সহ-মৌলিক) ✅
অতএব, মোট জোড় সংখ্যা = ২টি।
এখানে $13$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. (H.C.F.) এবং $a$ ও $b$ হলো দুটি সহ-মৌলিক (co-prime) সংখ্যা। অর্থাৎ $a$ ও $b$-এর মধ্যে $1$ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল = $2028$
$\therefore 13a \times 13b = 2028$
বা, $169ab = 2028$
বা, $ab = \frac{2028}{169}$
বা, $ab = 12$
এখন, $12$-কে দুটি সংখ্যার গুণফলরূপে প্রকাশ করা যায় এমন জোড়গুলো হলো:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 6 = 12$
$3 \times 4 = 12$
যেহেতু $a$ ও $b$ সহ-মৌলিক হতে হবে, তাই আমাদের দেখতে হবে কোন জোড়গুলো সহ-মৌলিক:
১। $(1, 12)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
২। $(2, 6)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়াও সাধারণ উৎপাদক $2$ আছে (উভয়ই ২ দ্বারা বিভাজ্য)। তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
৩। $(3, 4)$ জোড়টিতে $1$ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এটি গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্য জোড়ের সংখ্যা ২টি।
জোড়গুলো হলো: $(13 \times 1, 13 \times 12)$ বা $(13, 156)$ এবং $(13 \times 3, 13 \times 4)$ বা $(39, 52)$।
শর্টকাট টেকনিক:
দুটি সংখ্যার গুণফল এবং গ.সা.গু. দেওয়া থাকলে সম্ভাব্য জোড় বের করার নিয়ম:
ধাপ ১: সহ-মৌলিক সংখ্যা দুটির গুণফল বের করা।
সূত্র: $ab = \frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{(\text{গ.সা.গু.})^2}$
এখানে, $ab = \frac{2028}{13^2} = \frac{2028}{169} = 12$
ধাপ ২: প্রাপ্ত ভাগফলকে ($12$) এমন দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে ভাঙতে হবে যেন তারা পরস্পর সহ-মৌলিক হয়।
$12 = 1 \times 12$ (সহ-মৌলিক) ✅
$12 = 2 \times 6$ (সহ-মৌলিক নয়) ❌
$12 = 3 \times 4$ (সহ-মৌলিক) ✅
অতএব, মোট জোড় সংখ্যা = ২টি।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা - ১৩
কোর্স নামঃ
১৯তম নিবন্ধন (প্রভাষক): গ্রন্থাগার ও তথ্য বিজ্ঞান
টপিকসঃ
আধুনিক প্রযুক্তি ও সাম্প্রতিক উন্নয়ন:
গ্রন্থাগার বিজ্ঞান ও তথ্যপ্রযুক্তির সাম্প্রতিক উন্নয়ন, ই-লাইব্রেরি ও ডিজিটাল তথ্য ব্যবস্থাপনা।
গ্রন্থাগার বিজ্ঞান ও তথ্যপ্রযুক্তির সাম্প্রতিক উন্নয়ন, ই-লাইব্রেরি ও ডিজিটাল তথ্য ব্যবস্থাপনা।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৫ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions