Number (845 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, আমাদের কাঙ্ক্ষিত সংখ্যা = N
তাহলে,
N ÷ 8 = কোনো ভাগফল + 7 (ভাগশেষ)
N ÷ 12 = কোনো ভাগফল + 7 (ভাগশেষ)
N ÷ 16 = কোনো ভাগফল + 7 (ভাগশেষ)
N ÷ 20 = কোনো ভাগফল + 7 (ভাগশেষ)

N - 7 সংখ্যাটি 8, 12, 16, এবং 20 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

8, 12, 16, এবং 20 এর LCM বের করি,
8 = 2³
12 = 2² × 3
16 = 2⁴
20 = 2² × 5

LCM = 2⁴ × 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 240

যেহেতু (N - 7) হতে হবে 240 এর গুণিতক,
N - 7 = 240k (যেখানে k = 0, 1, 2, 3, ...)
সুতরাং N = 240k + 7
k = 0 হলে, N = 7 (কিন্তু এটি 8, 12, 16, 20 থেকে ছোট, তাই সম্ভব নয়)
k = 1 হলে, N = 240 + 7 = 247
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা ধরি, তিনটি পরপর সংখ্যার সবচেয়ে ছোটটি হচ্ছে x।
তাহলে পরের দুইটি হবে — x+1 এবং x+2

এবার square করি:
x² + (x+1)² + (x+2)² < 97
⇒ x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) < 97
⇒ x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 < 97
⇒ 3x² + 6x + 5 < 97
⇒ 3x² + 6x + 5 - 97 < 0
⇒ 3x² + 6x - 92 < 0

এখন আমরা বের করি কোন x এর জন্য এই condition fulfill করে।

x = 3:
3(3)² + 6(3) - 92 = 3×9 + 18 - 92 = 27 + 18 - 92 = 45 - 92 = -47 < 0 

x = 4:
3(4)² + 6(4) - 92 = 3×16 + 24 - 92 = 48 + 24 - 92 = 72 - 92 = -20 < 0 

x = 5:
3(5)² + 6(5) - 92 = 3×25 + 30 - 92 = 75 + 30 - 92 = 105 - 92 = 13 > 0 [Not Valid]

তাই inequality টা x < 5 পর্যন্ত valid
সর্বোচ্চ integer যা satisfy করে সেটা হলো x = 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
 

Let the two consecutive even integers be 2n and (2n + 2). Then,

(2n + 2)2 = (2n + 2 + 2n)(2n + 2 - 2n)

     = 2(4n + 2)

     = 4(2n + 1), which is divisible by 4.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রশ্নে বলা হচ্ছে, 4a3 এর সাথে 984 যোগ করলে যোগফল হয় 13b7 যা আবার 11 দ্বারা বিভাজ্য। তাহলে, (a + b) = কত?

দেয়া আছে, 4a3
               984
            _______
              13b7
যেহেতু, 13b7 সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য
তাই a + 8 = b হবে। = 1 হবে ।
এখানে, a = 0 অথবা, a = 1 হবে। a = 0 হলে b = 8.
কিংবা a = 1 হলে b = 9 হবে।
তাই সংখ্যাটি হয় 1387 বা 1397 হবে।
কিন্তু 1387 সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়
এবং 1397 সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য।

∴ a + b=1 + 9 = 10 হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি, 3 এর তিনটি ধারাবাহিক গুণনীয়ক = x, x + 3, x + 6

প্রশ্নমতে, x + x + 3 + x + 6 = 396

=> 3x + 9 = 396

=> 3x = 387

=> x = 129

∴ বড় সংখ্যাটি = 129 + 6 = 135
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যখন n কে 4 দিয়ে ভাগ করা হয়,

n = 4p + 1 ...(1)
যেখানে p হল ভাগফল এবং 1 হল ভাগশেষ


যখন n কে 6 দিয়ে ভাগ করা হয়,

n = 6q + 5 ...(2)
যেখানে q হল ভাগফল এবং 5 হল ভাগশেষ


যেহেতু দুটি সমীকরণই n এর জন্য
সুতরাং,
4p + 1 = 6q + 5
⇒ 4p - 6q = 4
⇒ 2p - 3q = 2
⇒ -2p + 3q = -2
সুতরাং, 3q - 2p = -2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
অপু টাকা দিয়েছে = x
টিপু টাকা দিয়েছে = 2x (কারণ টিপু অপুর চেয়ে দ্বিগুণ টাকা দিয়েছে)
বাবু টাকা দিয়েছে = y
মোট টাকা = 3x + y

প্রথম শর্ত,
অপু y−2x−70 টাকা দিয়েছে।
সুতরাং,
x = y−2x−70
⇒ 3x = y−70
⇒ y = 3x+70 ...(1)

অপু যদি দ্বিগুণ টাকা দিত, অর্থাৎ 2x টাকা দিত, তাহলে বাবু এবং টিপু প্রত্যেকে 10 টাকা কম দিত।
তাহলে, 2x + (y−10) + (2x−10) = x + 2x + y
⇒ 4x + y − 20 = 3x + y [এখানে x+2x+y আসল মোট টাকার সমান]
⇒ x = 20

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 3.20 + 70
⇒ y = 130
সুতরাং, বাবু দিয়েছে = 130 টাকা
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রশ্নে বলা হচ্ছে, 10 থেকে 100 পর্যন্ত লিখতে '4' সংখ্যাটি কতবার আসে ? 

10 থেকে 100 পর্যন্ত লিখতে 4 পাওয়া যাবে 19 টি । 
14 থেকে 34 পর্যন্ত  = 3 টি 
40 থেকে 49 পর্যন্ত  = 11 টি 
54 থেকে 94 পর্যন্ত  = 5 টি 
মোট = 19 টি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, সংখ্যাটি হল x।

এক-পঞ্চমাংশের সাথে 4 যোগ করলে = 4 + x/5

এক-চতুর্থাংশ থেকে 10 বিয়োগ করলে = x/4 - 10

প্রশ্ন অনুযায়ী, 
4 + x/5 = x/4 - 10
⇒ 4 + x/5 = x/4 - 10
⇒ 4 + 10 = x/4 - x/5
⇒ 14 = x/4 - x/5
⇒ 14 = (5x - 4x)/20
⇒ 14 = x/20
⇒ 14 × 20 = x
⇒ 280 = x

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এই সিরিজটি হল 5, 32, 7, 64, ... এবং আমাদের পরবর্তী সংখ্যাটি খুঁজতে হবে।

সিরিজটি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় এটি দুটি আলাদা সিরিজের সমন্বয়:
- বিষম স্থানে: 5, 7, ... (প্রাকৃতিক সংখ্যা)
- জোড় স্থানে: 32, 64, ... (2 এর পাওয়ার)

বিষম স্থানের সিরিজটি হল: 5, 7, 9, ...
জোড় স্থানের সিরিজটি হল: 32 (25), 64 (26), 128 (27), ...

সুতরাং, 128 এর আগে আসবে 9, যা বিষম স্থানের সিরিজের পরবর্তী সংখ্যা।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রশ্নে বলা হয়েছে, 7/17 ভগ্নাংশের লব ও হরে একটি সংখ্যা যোগ করলে 3/5 হবে।

ধরি, সেই সংখ্যা x।
তাহলে, (7+x)/(17+x) = 3/5

এখন, ক্রস মাল্টিপ্লিকেশন করে:
5(7+x) = 3(17+x)
35 + 5x = 51 + 3x
35 - 51 = 3x - 5x
-16 = -2x
x = 8

সুতরাং, 7/17 এর লব ও হরে 8 যোগ করলে (7+8)/(17+8) = 15/25 = 3/5 হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যদি x কে 8 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 2 হয়, তাহলে x কে এভাবে লেখা যায়:
x = 8k + 2 (যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা)

এখন, (x+9) কে 8 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা বের করতে হবে:
x + 9 = (8k + 2) + 9 = 8k + 11

8k + 11 কে 8 দিয়ে ভাগ করলে:
8k + 11 = 8k + 8 + 3 = 8(k + 1) + 3

যেহেতু 8(k + 1) সম্পূর্ণভাবে 8 দ্বারা বিভাজ্য, তাই ভাগশেষ হবে 3।

সুতরাং, উত্তর হবে D) 3।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যা 6, 8 এবং 12 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
-6, 8 এবং 12 এর LCM (least common multiple) হল 24।
-সুতরাং, মোট চকোলেটের সংখ্যা 24 দিয়ে বিভাজ্য হওয়া উচিত।
-270 কে 24 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 6 (270 ÷ 24 = 11 অবশিষ্ট 6)।
-তাই, পরবর্তী 24 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা হবে 270 + (24 - 6) = 288।
-অতএব, যোগ করতে হবে 288 - 270 = 18টি চকোলেট।
*সঠিক উত্তর: (C) 18
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*এই প্রশ্নটি সমাধান করতে, আমাদের দেখতে হবে 180 কে কোন কোন সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
*180 এর factor গুলি হল: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
*এখন প্রদত্ত বিকল্পগুলি যাচাই করি:
(A) 4: 180 ÷ 4 = 45 (সম্ভব)
(B) 20: 180 ÷ 20 = 9 (সম্ভব)
(C) 30: 180 ÷ 30 = 6 (সম্ভব)
(D) 40: 180 ÷ 40 = 4.5 (সম্ভব নয়, কারণ এটি পূর্ণসংখ্যা নয়)
(E) 90: 180 ÷ 90 = 2 (সম্ভব)
*সুতরাং, 40 ব্যতীত অন্য সব সংখ্যাই সারির সংখ্যা হতে পারে।
*সঠিক উত্তর: (D) 40
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-56 এবং 100 এর মধ্যে prime number গুলি হল:
-59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
-এই তালিকায় মোট 9টি সংখ্যা আছে।
-Prime number হল এমন সংখ্যা যা শুধুমাত্র 1 এবং নিজের দ্বারা বিভাজ্য।
-56 এবং 100 নিজেরা prime নয়, তাই এদের গণনা করা হয়নি।
-এই range-এর অন্যান্য সংখ্যাগুলি (যেমন 57, 58, 60, ইত্যাদি) composite number, অর্থাৎ এরা
prime নয়।
*সুতরাং, 56 এবং 100 এর মধ্যে মোট 9টি prime number আছে।
*সঠিক উত্তর: (B) 9
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*110 এবং 120 এর মধ্যে integer গুলি: 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119
এদের মধ্যে:
-111 = 3 × 37 (prime নয়)
-112 = 2^4 × 7 (prime নয়)
-113 - prime
-114 = 2 × 3 × 19 (prime নয়)
-115 = 5 × 23 (prime নয়)
-116 = 2^2 × 29 (prime নয়)
-117 = 3^2 × 13 (prime নয়)
-118 = 2 × 59 (prime নয়)
-119 = 7 × 17 (prime নয়)
*সুতরাং, এই range-এ মাত্র একটি prime number আছে: 113।
*সঠিক উত্তর: (B) 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-কে prime number হিসেবে গণনা করা হয় না।
-4, 6, 8, 9, 10 prime number নয় কারণ এগুলি অন্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।
*সুতরাং, 1 থেকে 10 এর মধ্যে মোট 4টি prime number আছে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*√4: এটি একটি real number। √4 = 2, যা একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং real number।

*π: এটিও একটি real number। π একটি irrational number, এবং তার ঋণাত্মক মানও real
number।

*0/5: এটি একটি real number। যেকোনো সংখ্যাকে 0 দিয়ে ভাগ করলে উত্তর 0 হয়, যা একটি real
number।

*√-9: এটি একটি real number নয়। ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব সংখ্যা ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত নয়।
এটি একটি imaginary number।

*সুতরাং, সঠিক উত্তর হল (D) √-9।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-x-y: negative - positive = negative (positive নয়)
-2x+3y: 2(negative) + 3(positive), এর মান positive বা negative হতে পারে (নিশ্চিত নয়)
-(x+10)/(y+2): (negative+10)/(positive+2), এর মান positive বা negative হতে পারে (নিশ্চিত নয়)
-(-y-2)/x: (negative-2)/negative = positive (সঠিক)
-2y^2+x: 2(positive^2) + negative, এর মান positive বা negative হতে পারে (নিশ্চিত নয়)

*সুতরাং, সঠিক উত্তর হল (D) (-y-2)/x।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-x+y: odd + even = odd (even নয়)
-xy-x: (odd × even) - odd = even - odd = odd (even নয়)
-x: আমরা জানি এটি odd (even নয়)
-y: আমরা জানি এটি even (সঠিক)
-এর যেকোনোটি: এটি সঠিক নয়, কারণ শুধুমাত্র y even

*সুতরাং, সঠিক উত্তর হল (D) y।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*xy = 5:
এখানে y even বা odd যেকোনোটি হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, x = 1 এবং y = 5 হতে পারে।

*x + 2y = 11:
এখানে y even বা odd যেকোনোটি হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 3 হয়, তাহলে 2y = 8,
অর্থাৎ y = 4 (even)। আবার যদি x = 5 হয়, তাহলে 2y = 6, অর্থাৎ y = 3 (odd)।

*2x + y = 12:
যেহেতু x odd, 2x সবসময় even হবে। 12 even সংখ্যা, তাই y-ও অবশ্যই even হতে হবে (even +
even = even)।

*সুতরাং, শুধুমাত্র III নং সমীকরণে y অবশ্যই even integer হবে।

*সঠিক উত্তর: (C) শুধুমাত্র III
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*-(3x^2+4): এটি সবসময় negative হবে। কারণ x যেকোনো non-zero integer হোক না কেন,
3x^2+4 সবসময় positive হবে, এবং তার negative মান অবশ্যই negative হবে।

*-(-x): এটি সবসময় x এর সমান হবে। যেহেতু x যেকোনো non-zero integer হতে পারে, এটি
positive বা negative হতে পারে।

*(-x)^3: এটি সবসময় negative হবে না। যদি x positive হয়, তাহলে (-x)^3 negative হবে, কিন্তু যদি
x negative হয়, তাহলে (-x)^3 positive হবে।

*সুতরাং, শুধুমাত্র I নং অপশনটি সবসময় negative integer হবে।

*সঠিক উত্তর: (B) শুধুমাত্র I
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*(4/x)+(5/x)+(6/x) = (4+5+6)/x = 15/x
*যদি 15/x একটি integer হয়, তাহলে x অবশ্যই 15 এর একটি factor হবে
*15 এর factors হল 1, 3, 5, 15
*এখন প্রতিটি option যাচাই করি:
-(A) 5/x: এটি integer হতে পারে না (যদি x>5 হয়)
-(B) x/30: এটি integer হতে পারে না (যদি x<30 হয়)
-(C) 30/x: এটি সবসময় integer হবে, কারণ x হল 15 এর একটি factor, যা 30 এরও একটি factor

*সুতরাং, সঠিক উত্তর হল (C) 30/x, যা সবসময় একটি integer হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-(x+3)(x+5): even + odd = odd, তাই (odd × odd) = odd
-x²+5: even² = even, তাই (even + odd) = odd
-x²+6x+9: even² = even, 6 × even = even, তাই (even + even + odd) = odd
-3x²+4: 3 × even² = even, তাই (even + even) = even
-None of these
*লক্ষ্য করুন, শুধুমাত্র (D) 3x²+4 হল even। বাকি সবগুলি odd।
*সুতরাং, সঠিক উত্তর হল (D) 3x²+4।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-ধরি, bottom row-তে x সংখ্যক brick আছে।
-তাহলে উপরের row-গুলিতে থাকবে: (x-1), (x-2), (x-3), এবং (x-4) brick।
-মোট brick সংখ্যা = x + (x-1) + (x-2) + (x-3) + (x-4) = 75
-সরল করে: 5x - 10 = 75
-5x = 85
-x = 17

*সুতরাং, bottom row-তে 17টি brick আছে।
*তাই সঠিক উত্তর হল (B) 17।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*এটি সবসময় true নয়। উদাহরণস্বরূপ, a=2 এবং b=3 হলে তাদের product even হবে।
*এটি সবসময় true। কারণ যোগফল 5 (odd), তাই একটি odd এবং একটি even সংখ্যা থাকতে হবে।
*এটি সবসময় true। কারণ যোগফল 5 (positive), তাই যদি একটি negative হয়, অন্যটি অবশ্যই
positive হবে এবং তার absolute value বড় হবে।
*সুতরাং, II এবং III উভয়ই সবসময় true।
*তাই সঠিক উত্তর হল (D) II and III only।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-(x-z): odd - even = odd
-y²: odd × odd = odd
-(x-z)²: odd × odd = odd
-(x-y): odd - odd = even

*এখন options গুলি যাচাই করি:
-(A) সত্য: odd × odd = odd
-(B) সত্য নয়: odd × odd = odd (even নয়)
-(C) সত্য: odd × odd = odd
-(D) সত্য: even × even = even
*সুতরাং, (B) (x-z)²y is even হল একমাত্র statement যা true হতে পারে না। এটি সবসময় odd হবে।
*তাই সঠিক উত্তর হল (B) (x-z)²y is even।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
*x/y > 0 মানে হল ভগ্নাংশটি ধনাত্মক।
একটি ভগ্নাংশ ধনাত্মক হতে পারে দুই ভাবে:

*যদি লব ও হর উভয়ই ধনাত্মক হয় (x > 0 এবং y > 0)
অথবা, যদি লব ও হর উভয়ই ঋণাত্মক হয় (x < 0 এবং y < 0)

*এখন প্রতিটি বিকল্প বিবেচনা করি:
(A) x > 0: এটা সবসময় সত্য নয়, কারণ x ঋণাত্মকও হতে পারে
(B) y > 0: এটাও সবসময় সত্য নয়, কারণ y ঋণাত্মকও হতে পারে
(C) xy > 0: এটা সবসময় সত্য হবে, কারণ x এবং y একই চিহ্নের হবে
(D) x-y > 0: এটা সবসময় সত্য নয়, কারণ x য়ের চেয়ে ছোটও হতে পারে

*তাই সঠিক উত্তর হল (C) xy > 0।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-ধরি, ছোট সংখ্যাটি x
-তাহলে বড় সংখ্যাটি হবে (x+1)
-সমীকরণ: x(x+1) = x² + 12
-সরল করে: x² + x = x² + 12
-x = 12
-সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হবে x+1 = 13

*তাই সঠিক উত্তর হল (D) 13।
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0