একটি ৪৮ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে গেছিলো?
Solution
Correct Answer: Option A
চলো আমরা এই মজার অঙ্কটি খুব সহজে ধাপে ধাপে বুঝে নিই।
মনে করো, সম্পূর্ণ খুঁটিটি একটি লম্ব বা সোজা রেখা। ভেঙে যাওয়ার পর এর ওপরের অংশটি ভূমিতে পড়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।
- ধরি, খুঁটিটি মাটি থেকে $x$ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল। অর্থাৎ ত্রিভুজটির লম্ব হলো $x$।
- খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার। তাহলে যে অংশটি ভেঙে নিচে পড়েছে (অর্থাৎ ত্রিভুজের অতিভুজ), তার দৈর্ঘ্য হবে $(48 - x)$ মিটার।
- ভাঙা অংশটি ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করেছে, তা হলো $\theta = 30^\circ$।
এখন আমরা ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করব। আমরা জানি,
$\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
মানগুলো বসিয়ে পাই,
$\sin 30^\circ = \frac{x}{48 - x}$
আমরা জানি, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{2} = \frac{x}{48 - x}$
এখন কোণাকুণি বা আরগুণন (Cross multiplication) করে পাই,
$\Rightarrow 2x = 48 - x$
$\Rightarrow 2x + x = 48$ (কারণ ডানের $-x$ বামে আসলে $+x$ হয়ে যায়)
$\Rightarrow 3x = 48$
$\Rightarrow x = \frac{48}{3}$
$\Rightarrow x = 16$
সুতরাং, খুঁটিটি মাটি থেকে ১৬ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।
ম্যাজিক বা শর্টকাট টেকনিক:
যদি কোনো খুঁটি বা গাছ ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ঠিক $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে সেটি সবসময় তার মোট দৈর্ঘ্যের তিন ভাগের এক ভাগ (১/৩) উচ্চতায় ভাঙে।
অর্থাৎ, ভাঙার উচ্চতা = $\frac{\text{মোট দৈর্ঘ্য}}{3} = \frac{48}{3} = 16$ মিটার। মাত্র কয়েক সেকেন্ডেই এভাবে উত্তর বের করে ফেলা যায়!
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
মনে করো, সম্পূর্ণ খুঁটিটি একটি লম্ব বা সোজা রেখা। ভেঙে যাওয়ার পর এর ওপরের অংশটি ভূমিতে পড়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।
- ধরি, খুঁটিটি মাটি থেকে $x$ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল। অর্থাৎ ত্রিভুজটির লম্ব হলো $x$।
- খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার। তাহলে যে অংশটি ভেঙে নিচে পড়েছে (অর্থাৎ ত্রিভুজের অতিভুজ), তার দৈর্ঘ্য হবে $(48 - x)$ মিটার।
- ভাঙা অংশটি ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করেছে, তা হলো $\theta = 30^\circ$।
এখন আমরা ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করব। আমরা জানি,
$\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
মানগুলো বসিয়ে পাই,
$\sin 30^\circ = \frac{x}{48 - x}$
আমরা জানি, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{2} = \frac{x}{48 - x}$
এখন কোণাকুণি বা আরগুণন (Cross multiplication) করে পাই,
$\Rightarrow 2x = 48 - x$
$\Rightarrow 2x + x = 48$ (কারণ ডানের $-x$ বামে আসলে $+x$ হয়ে যায়)
$\Rightarrow 3x = 48$
$\Rightarrow x = \frac{48}{3}$
$\Rightarrow x = 16$
সুতরাং, খুঁটিটি মাটি থেকে ১৬ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।
ম্যাজিক বা শর্টকাট টেকনিক:
যদি কোনো খুঁটি বা গাছ ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ঠিক $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে সেটি সবসময় তার মোট দৈর্ঘ্যের তিন ভাগের এক ভাগ (১/৩) উচ্চতায় ভাঙে।
অর্থাৎ, ভাঙার উচ্চতা = $\frac{\text{মোট দৈর্ঘ্য}}{3} = \frac{48}{3} = 16$ মিটার। মাত্র কয়েক সেকেন্ডেই এভাবে উত্তর বের করে ফেলা যায়!
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions