$১^{২} + ২^{২} + ৩^{২ }+$ ____ $+ ১০^{২}$ ধারাটির সমষ্টি কত?

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বের করার একটি সহজ সূত্র আছে। সূত্রটি হলো:
সমষ্টি = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
এখানে, $n$ মানে হলো ধারাটির শেষ পদ বা মোট পদের সংখ্যা।
আমাদের প্রশ্নে দেওয়া ধারাটি হলো: $১^{২} + ২^{২} + ৩^{২ } + ..... + ১০^{২}$
খেয়াল করে দেখো, এখানে ১ থেকে শুরু করে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর বর্গ করা হয়েছে। তাই এখানে $n = ১০$।
এবার চলো সূত্রে $n$ এর মান বসিয়ে দিই:
- সমষ্টি = $\frac{১০(১০+১)(২ \times ১০ + ১)}{৬}$
- সমষ্টি = $\frac{১০ \times ১১ \times (২০ + ১)}{৬}$
- সমষ্টি = $\frac{১০ \times ১১ \times ২১}{৬}$
এখন আমরা সহজে কাটাকাটি বা ভাগ করব। প্রথমে ২ দিয়ে ১০ ও ৬ কে ভাগ করলে পাই ৫ ও ৩:
- $\frac{৫ \times ১১ \times ২১}{৩}$
এবার নিচের ৩ দিয়ে উপরের ২১ কে ভাগ করি (৩ সাতে ২১):
- $৫ \times ১১ \times ৭$
সবশেষে সংখ্যাগুলো গুণ করে ফেলি:
- $৫৫ \times ৭ = ৩৮৫$
সুতরাং, ধারাটির মোট সমষ্টি হলো ৩৮৫।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।