যদি x2-2x+4=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β হয়, তাহলে αn+βn= কত ?
Solution
Correct Answer: Option D
1. প্রথমে, আমরা সমীকরণটি পর্যালোচনা করি: x2 - 2x + 4 = 0
2. এই সমীকরণের সাথে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax2 + bx + c = 0 তুলনা করলে:
a = 1, b = -2, c = 4
3. Vieta's formulas অনুযায়ী, যদি α এবং β মূলদ্বয় হয়, তাহলে:
α + β = -b/a = 2
αβ = c/a = 4
4. এখন, αn + βn এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা De Moivre's formula ব্যবহার করব।
5. α এবং β কে polar form এ প্রকাশ করি:
α = r(cos θ + i sin θ)
β = r(cos θ - i sin θ)
যেখানে, r2 = αβ = 4, তাই r = 2
6. এখন, cos θ = (α + β)/(2r) = 2/(2*2) = 1/2
এটি π/3 কোণের cos মান।
7. সুতরাং, α = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
β = 2(cos(π/3) - i sin(π/3))
8. De Moivre's formula অনুযায়ী:
αn + βn = 2n(cos(nπ/3) + i sin(nπ/3)) + 2n(cos(nπ/3) - i sin(nπ/3))
= 2n+1 cos(nπ/3)
2. এই সমীকরণের সাথে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax2 + bx + c = 0 তুলনা করলে:
a = 1, b = -2, c = 4
3. Vieta's formulas অনুযায়ী, যদি α এবং β মূলদ্বয় হয়, তাহলে:
α + β = -b/a = 2
αβ = c/a = 4
4. এখন, αn + βn এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা De Moivre's formula ব্যবহার করব।
5. α এবং β কে polar form এ প্রকাশ করি:
α = r(cos θ + i sin θ)
β = r(cos θ - i sin θ)
যেখানে, r2 = αβ = 4, তাই r = 2
6. এখন, cos θ = (α + β)/(2r) = 2/(2*2) = 1/2
এটি π/3 কোণের cos মান।
7. সুতরাং, α = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
β = 2(cos(π/3) - i sin(π/3))
8. De Moivre's formula অনুযায়ী:
αn + βn = 2n(cos(nπ/3) + i sin(nπ/3)) + 2n(cos(nπ/3) - i sin(nπ/3))
= 2n+1 cos(nπ/3)
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions