If cos A + sin A = 2 cos A ,then cos A – sin A = ?
Solution
Correct Answer: Option A
দেওয়া আছে,
cos A + sin A = 2 cos A
বা, (cos A + sin A)2 = ( 2 cos A)2
বা, cos2 A + 2 sin A cos A + sin2 A = 2 cos2 A
বা, (sin2 A + cos2 A) + 2 sin A cos A = 2 cos2 A
বা, 1 + 2 sin A cos A = 2 cos2 A
বা, 2 sin A cos A = 2 cos2 A – 1
বা, 2 sin A cos A = 2 cos2 A – 1
এখন, cos A – sin A
= √(cos A – sin A)2
= √(cos2 A – 2 cos A . sin A + sin2 A)
= √{sin2 A + cos2 A – (2 cos2 A – 1)}
= √(sin2 A + cos2 A – 2 cos2 A + 1)
= √(sin2 A – cos2 A + 1)
= √{(1 – cos2 A) + sin2 A}
= √(sin2 A + sin2 A) [ sin2 A + cos2 A = 1 ;sin2 A = 1 – cos2 A ]
= √(2 sin2 A) = √2 sin A
cos A + sin A = 2 cos A
বা, (cos A + sin A)2 = ( 2 cos A)2
বা, cos2 A + 2 sin A cos A + sin2 A = 2 cos2 A
বা, (sin2 A + cos2 A) + 2 sin A cos A = 2 cos2 A
বা, 1 + 2 sin A cos A = 2 cos2 A
বা, 2 sin A cos A = 2 cos2 A – 1
বা, 2 sin A cos A = 2 cos2 A – 1
এখন, cos A – sin A
= √(cos A – sin A)2
= √(cos2 A – 2 cos A . sin A + sin2 A)
= √{sin2 A + cos2 A – (2 cos2 A – 1)}
= √(sin2 A + cos2 A – 2 cos2 A + 1)
= √(sin2 A – cos2 A + 1)
= √{(1 – cos2 A) + sin2 A}
= √(sin2 A + sin2 A) [ sin2 A + cos2 A = 1 ;sin2 A = 1 – cos2 A ]
= √(2 sin2 A) = √2 sin A
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