আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. নির্ণয়ের সূত্রটি হলো— ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লবগুলোর গ.সা.গু.) / (হরগুলোর ল.সা.গু.) এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো: 2/3, 8/9, 64/81 এবং 10/27
১ম ধাপ: লবগুলোর গ.সা.গু. নির্ণয় লবগুলো হলো: 2, 8, 64, 10 এখন, 2, 8, 64 এবং 10 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি। 2 = 1 × 2 8 = 2 × 2 × 2 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 10 = 2 × 5 সবগুলো সংখ্যার মধ্যে সাধারণ বা কমন উৎপাদক হলো 2। সুতরাং, লবগুলোর গ.সা.গু. = 2
২য় ধাপ: হরগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় হরগুলো হলো: 3, 9, 81, 27 এখন, 3, 9, 81 এবং 27 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি। এখানে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হলো 81। যেহেতু 3, 9, এবং 27 দ্বারা 81 বিভাজ্য (নিঃশেষে ভাগ করা যায়), তাই এদের ল.সা.গু. হবে বড় সংখ্যাটিই। সুতরাং, হরগুলোর ল.সা.গু. = 81
শর্টকাট টেকনিক: ভগ্নাংশের গ.সা.গু. বের করার সময় মনে রাখবেন— "গ.সা.গু. চাইলে উপরের লবগুলোর গ.সা.গু. করবেন, আর নিচেরটা অটোমেটিক ল.সা.গু. হবে।" এখানে লবগুলো (2, 8, 64, 10) এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 2। যেহেতু 2 দিয়ে বাকি সব লব (8, 64, 10) ভাগ করা যায়, তাই লবগুলোর গ.সা.গু. হবে 2। হরগুলোর (3, 9, 81, 27) মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যা 81। যেহেতু বাকি সব হর (3, 9, 27) দিয়ে 81 কে ভাগ করা যায়, তাই হরগুলোর ল.সা.গু. হবে 81। উত্তর: 2/81
তিনটি রাস্তার মোড়ে ট্রাফিক লাইট যথাক্রমে ৪৮, ৭২ এবং ১০৮ সেকেন্ড পর পর পরিবর্তন হয়। লাইটগুলো পুনরায় কখন একসাথে পরিবর্তন হবে তা বের করতে হলে এই সংখ্যাগুলোর লসাগু (LCM) নির্ণয় করতে হবে। কারণ লসাগু হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
৪৮, ৭২ এবং ১০৮ এর লসাগু নির্ণয়:
২ | ৪৮, ৭২, ১০৮ -------------- ২ | ২৪, ৩৬, ৫৪ -------------- ২ | ১২, ১৮, ২৭ -------------- ৩ | ৬, ৯, ২৭ -------------- ৩ | ২, ৩, ৯ -------------- | ২, ১, ৩
সুতরাং, নির্ণেয় লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ × ৩ = ৮ × ২৭ × ২ = ৪৩২ অর্থাৎ, ৪৩২ সেকেন্ড পর ট্রাফিক লাইটগুলো পুনরায় একসাথে পরিবর্তন হবে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য): প্রশ্নে যেহেতু জানতে চাওয়া হয়েছে সবচেয়ে কম কত সময় পর লাইটগুলো আবার একসাথে জ্বলবে, তাই এটি একটি লসাগুর অঙ্ক। অপশনগুলো খেয়াল করুন। সবচেয়ে ছোট অপশন ১২ (যা ৪৮, ৭২ এর চেয়ে ছোট তাই হবে না)। ২১৬ কে ১০৮ ও ৭২ দিয়ে ভাগ করা যায় (১০৮×২=২১৬, ৭২×৩=২১৬) কিন্তু ৪৮ দিয়ে ভাগ করা যায় না (২১৬ ÷ ৪৮ = ৪.৫)। ৪৩২ কে ৪৮ দিয়ে ভাগ করলে ৯, ৭২ দিয়ে ভাগ করলে ৬ এবং ১০৮ দিয়ে ভাগ করলে ৪ পাওয়া যায়। সুতরাং, লসাগু বা সঠিক উত্তর ৪৩২।
- খ্রিস্টীয় ষষ্ঠ শতকে উত্তর বাংলা, পশ্চিম বাংলার উত্তরাংশ এবং মগধ গৌড় জনপদ রূপে পরিচিতি লাভ করে। - গুপ্ত সাম্রাজ্যের পতন পরবর্তী বিশৃঙ্খল অবস্থার সুযোগ গ্রহণ করে শশাঙ্ক ৫৯৪ খ্রিস্টাব্দে গৌড় অঞ্চল অধিকার করে ‘স্বাধীন গৌড় রাজ্য’ স্থাপন করেন। - তার রাজধানী ছিলো কর্ণসুবর্ণ। - ৬৩৭ খ্রিস্টাব্দে মৃত্যুর পূর্বপর্যন্ত শশাঙ্ক গৌড় রাজ্যের অধিপতি ছিলেন।
- শশাঙ্ক ছিলেন বাংলার প্রথম স্বাধীন ও সার্বভৌম রাজা। - তিনি নিজেকে গৌড়েশ্বর পরিচয় দিতেন। - শশাঙ্ক একজন সুশাসক ছিলেন। - তার রাজধানী ছিল মুর্শিদাবাদের নিকটবর্তী কর্ণসুবর্ণ। - তার আমলে তাম্রলিপ্ত বন্দর গুরুত্ব লাভ করে। - বিখ্যাত চীনা পর্যটক হিউয়েন সাং হিন্দু ধর্মের অনুসারী রাজা শশাঙ্ককে বৌদ্ধ ধর্মের নিগ্রহকারী হিসেবে আখ্যায়িত করেছেন।
- মহাস্থানগড় বাংলাদেশের একটি অন্যতম প্রাচীন পুরাকীর্তি। - প্রসিদ্ধ এই নগরী ইতিহাসে পুণ্ড্রবর্ধন বা পুণ্ড্রনগর নামেও পরিচিত ছিল। - এক সময় মহাস্থানগড় বাংলার রাজধানী ছিল। - ২০১৬ সালে এটিকে সার্কের সাংস্কৃতিক রাজধানী হিসেবে ঘোষণা করা হয়। এটি বর্তমানে বগুড়া জেলায় অবস্থিত। প্রাচীন বাংলার জনপদ সমূহ: - পুণ্ড্র - বঙ্গ - হরিকেল - রাঢ় - চন্দ্রদ্বীপ - বরেন্দ্র - গৌড় - সমতট - তাম্রলিপ্ত - গঙ্গারিডাই প্রভৃতি।
সংখ্যার যে কোনো অঙ্কের দুটি মান থাকে: ১. স্থানীয় মান (Place Value) এবং ২. স্বকীয় মান (Face Value)।
Place Value: সংখ্যার অবস্থানের ওপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয় (যেমন: একক, দশক, শতক)। Face Value: এটি হলো অঙ্কটির নিজস্ব মান, যা কখনোই পরিবর্তিত হয় না। যেমন: ৫২৮ সংখ্যাটিতে ২-এর স্থানীয় মান ২০, কিন্তু এর স্বকীয় মান (Face Value) শুধুই ২। তাই সঠিক উত্তর Face Value।
যে সংখ্যার মাত্র দুটি গুণনীয়ক (Factors) থাকে—১ এবং ওই সংখ্যাটি নিজে—তাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বলে। অর্থাৎ, এই সংখ্যাকে ১ এবং ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি। যৌগিক সংখ্যার (Composite Number) দুইয়ের অধিক গুণনীয়ক থাকে।
বিভাজ্যতার সূত্র অনুযায়ী, কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল (Sum of digits) যদি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে ওই পুরো সংখ্যাটিই ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে। উদাহরণ: ৭২৯ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (৭+২+৯) = ১৮। যেহেতু ১৮ কে ৯ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ৭২৯ সংখ্যাটিও ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। (উল্লেখ্য: ৯ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা ৩ দিয়েও বিভাজ্য হয়, কিন্তু প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী মূল ভাজক বা Divisor হলো ৯)।
মূলদ সংখ্যা (Rational Number): যে সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে (p/q, যেখানে q ≠ 0) প্রকাশ করা যায়, তাকে মূলদ সংখ্যা বলে। যেমন: ৫ (যা ৫/১), ৩/৪, ০.৫ (যা ১/২)। মূলদ সংখ্যার দশমিক প্রকাশ সসীম (terminating) অথবা পৌনঃপুনিক (recurring) হয়।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। অমূলদ সংখ্যার দশমিক প্রকাশ অসীম (non-terminating) এবং অপৌনঃপুনিক (non-recurring) হয়, অর্থাৎ দশমিকের পরের অঙ্কগুলো কোনো নিয়ম ছাড়াই চলতে থাকে।
π (পাই) হলো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত। এর মান প্রায় ৩.১৪১৫৯...। দশমিকের পর এর অঙ্কগুলো কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়াই অসীম পর্যন্ত চলতে থাকে। π-কে কোনো সাধারণ ভগ্নাংশ (যেমন ২২/৭) দ্বারা প্রকাশ করা হলেও তা এর আসন্ন মান, প্রকৃত মান নয়। যেহেতু π-কে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে সঠিকভাবে প্রকাশ করা যায় না, তাই π একটি অমূলদ সংখ্যা।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
পার্থক্যগুলো হলো ৩, ৫, ৭, ৯, যা ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার একটি ধারা। সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্যটি হবে ৯-এর পরের বিজোড় সংখ্যা, অর্থাৎ ১১।
অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে, ২৬ + ১১ = ৩৭
বিকল্প পদ্ধতি: ধারাটির পদগুলোকে অন্যভাবেও লেখা যায়: প্রথম পদ: ২ = ১² + ১ দ্বিতীয় পদ: ৫ = ২² + ১ তৃতীয় পদ: ১০ = ৩² + ১ চতুর্থ পদ: ১৭ = ৪² + ১ পঞ্চম পদ: ২৬ = ৫² + ১
এই বিন্যাস অনুযায়ী, পরবর্তী পদটি হবে: ষষ্ঠ পদ = ৬² + ১ = ৩৬ + ১ = ৩৭ সুতরাং, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হলো ৩৭।
প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো ৮৪,৫৬৯। স্বকীয় মান (Face Value): কোনো অঙ্কের স্বকীয় মান হলো সেই অঙ্কটি নিজেই, সংখ্যাটিতে তার অবস্থান যেখানেই হোক না কেন। সুতরাং, ৮৪৫৬৯ সংখ্যাটিতে ৫-এর স্বকীয় মান হলো ৫।
স্থানীয় মান (Place Value): কোনো অঙ্কের স্থানীয় মান সংখ্যাটিতে তার অবস্থানের ওপর নির্ভর করে। ৮৪৫৬৯ সংখ্যাটিতে ৫ অঙ্কটি শতকের স্থানে আছে। সুতরাং, ৫-এর স্থানীয় মান = ৫ × ১০০ = ৫০০।
পার্থক্য নির্ণয়: স্থানীয় মান - স্বকীয় মান = ৫০০ - ৫ = ৪৯৫
দশমিক মানগুলো তুলনা করে দেখা যায় যে, ০.৯ হলো সবচেয়ে বড়।
পদ্ধতি-২: লব ও হরের পার্থক্য লক্ষ করি, প্রতিটি ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে পার্থক্য ১। ৪ - ৩ = ১ ৬ - ৫ = ১ ৮ - ৭ = ১ ১০ - ৯ = ১
যখন প্রকৃত ভগ্নাংশের (Proper Fraction) লব ও হরের পার্থক্য সমান থাকে, তখন যে ভগ্নাংশের লব ও হর সবচেয়ে বড়, সেই ভগ্নাংশটিই বৃহত্তম হয়। এখানে ৯ এবং ১০ অন্য ভগ্নাংশগুলোর লব ও হরের চেয়ে বড়।
*সঠিক উত্তর: c) 12 -4 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে, সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক 00, 04, 12, 24, 32, 40, 52, 60, 72, 80, 92 হতে হবে। -1, 2, 3, 4 দিয়ে গঠিত চারটি সংখ্যা: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321। -এর মধ্যে 12টি সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য।
*সঠিক উত্তর: a) 11 -যদি জোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল এবং বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফলের পার্থক্য 11 এর গুণিতক হয়, তাহলে সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
*সঠিক উত্তর: a) 3 -একটি সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল 18 হলে, এটি 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে। -6 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে, কিন্তু 3 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া নিশ্চিত।
*সঠিক উত্তর: d) 11 -ব্যাখ্যা: 264 এর শেষ তিন অঙ্কের যোগফল 2 + 6 + 4 = 12, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। -264 এর শেষ দুই অঙ্ক 64, যা 4 এবং 8 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়, কারণ 264 এর অঙ্কগুলির যোগফল 12, যা 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
✅প্রাইমারী, নিবন্ধন বা ১১তম-২০তম গ্রেডের যেকোনো চাকরি জন্য প্রশ্ন ব্যাংক লেগে থেকে শেষ করুন। অ্যাপ এর প্রশ্ন ব্যাংক থেকে ১০০% কমন আসবে। বাকি চাকরি পরীক্ষা জন্য ৭০%-৮০% কমন আসবে। আপনার চর্চার সময় আপনার ভুল প্রশ্ন, বুকমার্ক প্রশ্ন সব ডাটাবেজে জমা থাকে। মনে করুন বাংলা সাহিত্য ৪০০০ প্রশ্ন আছে, আপনি একবার ভালো করে পড়বেন, এর মধ্যে দেখবেন ৪০% প্রশ্ন আপনার জানা, যেগুলো কখনও ভুল হবে না, বাকি আছে ৬০%, এই প্রশ্নগুলো আলাদা বাটনে জমা হয়, যেগুলো আপনি ভুল করছেন, এখন এইগুলো ভালো করে রিভিশন দিন। এতে সহজে কম সময় প্রস্তুতি শেষ হবে। যারা একেবারে নতুন তারা জব শুলুশন্স বাটন দিয়ে শুরু করতে পারেন।
✅প্রাইমারী ১ম ধাপের পরীক্ষার তারিখ দিলে ফুল মডেল টেস্ট শুরু হবে।
✅ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (রুটিনের জন্য পিডিএফ বাটন দেখুন) - পরীক্ষা শুরুঃ ১০ নভেম্বর। - মোট পরীক্ষাঃ ১২৮টি, - টপিক ভিত্তিকঃ ১১২টি, - রিভিশন পরীক্ষাঃ ২২টি, - Vocabulary রিভিশনঃ ৩বার
✅ সম্পূর্ণ ফ্রিতে প্রস্তুতি নিন ৫০তম বিসিএস। মোট পরীক্ষাঃ ১৬২টি টপিক ভিত্তিক পরীক্ষাঃ ১০০টি রিভিশন পরীক্ষাঃ ৬২টি
অ্যাপ এর হোম screen -এ পিডিএফ বাটন ক্লিক করুন, এখান থেকে রুটিন ডাউনলোড করতে পারবেন। রুটিনের তারিখ অনুযায়ী পরীক্ষা রাত ১২ থেকে ২৪ ঘণ্টার মধ্যে যেকোন সময় দিতে পারবেন, ফলাফল সাথে সাথে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হয়। missed পরীক্ষাগুলো আর্কাইভ থেকে দিতে পারবেন, তবে মেরিট লিস্ট আসবে না, মেরিট লিস্টে থাকতে হলে রুটিন অনুযায়ী নির্দিষ্ট তারিখে দিতে হবে। আর্কাইভ থেকে পরীক্ষা দিতে হলে ভিজিট করুনঃ অ্যাপ এর হোম স্ক্রীনে 'পরীক্ষার সেকশন' বাটনে ক্লিক করুন -> বিসিএস বাটন -> [ফ্রি কোর্স] ৫০তম বিসিএস প্রিলি ২২০ দিনের সেকশনের All Exam বাটন ক্লিক করুন -> এখান Upcoming, Expired ট্যাব পাবেন।
✅ প্রধান শিক্ষক প্রস্তুতি - লেকচারশীট ভিত্তিকঃ রুটিন আপলোড করা হয়েছে। পরীক্ষা শুরুঃ ১৫ আগস্ট। মোট পরীক্ষাঃ ৫৮টি
✅ আপকামিং রুটিনঃ
- ১০০ দিনের বিসিএস বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি। - বেসিকভিউ বই অনুসারে GK রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে। - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।
