ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে R দুইটি পাশাপাশি থাকবে না।
Solution
Correct Answer: Option C
'ARRANGE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি।
এর মধ্যে দুটি 'A' এবং দুটি 'R' আছে।
ধাপ ১: মোট বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
যদি কোনো শর্ত না থাকে, তবে 'ARRANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে:
$\frac{৭!}{২! \times ২!}$
= $\frac{৭ \times ৬ \times ৫ \times ৪ \times ৩ \times ২ \times ১}{২ \times ১ \times ২ \times ১}$
= $\frac{৫০৪০}{৪}$
= ১২৬০ টি।
ধাপ ২: দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
এখন, দুটি 'R'-কে একটি বর্ণ (RR) বিবেচনা করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হবে (৭ - ২ + ১) = ৬টি।
এই ৬টি বর্ণের মধ্যে দুটি 'A' একই জাতীয়।
সুতরাং, দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে সাজানোর সংখ্যা:
$\frac{৬!}{২!}$
= $\frac{৭২০}{২}$
= ৩৬০ টি।
ধাপ ৩: দুটি 'R' পাশাপাশি না রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
আমাদের বের করতে হবে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে 'R'-দুইটি পাশাপাশি না থাকে। এটি বের করতে মোট বিন্যাস থেকে 'R' পাশাপাশি থাকার বিন্যাস বিয়োগ করতে হবে।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = (মোট বিন্যাস) - (দুটি 'R' একত্রে থাকার বিন্যাস)
= ১২৬০ - ৩৬০
= ৯০০
বিকল্প শর্টকাট মেথড (Gap Method):
'R' দুটিকে পাশাপাশি না রাখতে হলে, প্রথমে 'R' বাদে বাকি বর্ণগুলোকে (A, A, N, G, E) সাজাতে হবে।
এদের সাজানোর উপায় = $\frac{৫!}{২!}$ = ৬০ টি।
এখন, এই ৫টি বর্ণের মাঝে ও দুই প্রান্তে মোট গ্যাপ বা ফাঁকা স্থান সৃষ্টি হয় (৫ + ১) = ৬টি।
_ A _ A _ N _ G _ E _
এই ৬টি স্থানে ২টি 'R' বসাতে হবে। যেহেতু 'R' দুটি একই জাতীয়, তাই এদের সাজানোর উপায় হবে:
$^6C_2$
= $\frac{৬ \times ৫}{২}$ = ১৫ টি।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৬০ × ১৫ = ৯০০।
এর মধ্যে দুটি 'A' এবং দুটি 'R' আছে।
ধাপ ১: মোট বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
যদি কোনো শর্ত না থাকে, তবে 'ARRANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে:
$\frac{৭!}{২! \times ২!}$
= $\frac{৭ \times ৬ \times ৫ \times ৪ \times ৩ \times ২ \times ১}{২ \times ১ \times ২ \times ১}$
= $\frac{৫০৪০}{৪}$
= ১২৬০ টি।
ধাপ ২: দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
এখন, দুটি 'R'-কে একটি বর্ণ (RR) বিবেচনা করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হবে (৭ - ২ + ১) = ৬টি।
এই ৬টি বর্ণের মধ্যে দুটি 'A' একই জাতীয়।
সুতরাং, দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে সাজানোর সংখ্যা:
$\frac{৬!}{২!}$
= $\frac{৭২০}{২}$
= ৩৬০ টি।
ধাপ ৩: দুটি 'R' পাশাপাশি না রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
আমাদের বের করতে হবে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে 'R'-দুইটি পাশাপাশি না থাকে। এটি বের করতে মোট বিন্যাস থেকে 'R' পাশাপাশি থাকার বিন্যাস বিয়োগ করতে হবে।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = (মোট বিন্যাস) - (দুটি 'R' একত্রে থাকার বিন্যাস)
= ১২৬০ - ৩৬০
= ৯০০
বিকল্প শর্টকাট মেথড (Gap Method):
'R' দুটিকে পাশাপাশি না রাখতে হলে, প্রথমে 'R' বাদে বাকি বর্ণগুলোকে (A, A, N, G, E) সাজাতে হবে।
এদের সাজানোর উপায় = $\frac{৫!}{২!}$ = ৬০ টি।
এখন, এই ৫টি বর্ণের মাঝে ও দুই প্রান্তে মোট গ্যাপ বা ফাঁকা স্থান সৃষ্টি হয় (৫ + ১) = ৬টি।
_ A _ A _ N _ G _ E _
এই ৬টি স্থানে ২টি 'R' বসাতে হবে। যেহেতু 'R' দুটি একই জাতীয়, তাই এদের সাজানোর উপায় হবে:
$^6C_2$
= $\frac{৬ \times ৫}{২}$ = ১৫ টি।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৬০ × ১৫ = ৯০০।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 78
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Math
Probability, Permutation and Combination
Probability, Permutation and Combination
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৬৭
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলী
বাংলাদেশের জাতি, গোষ্ঠী ও উপজাতি, বাংলাদেশের জাতীয় অর্জন, গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তি, প্রতিষ্ঠান ও স্থাপনাসমূহ, জাতীয় পুরস্কার, বাংলাদেশের খেলাধুলাসহ চলচ্চিত্র এবং গণমাধ্যম।
বাংলাদেশের জাতি, গোষ্ঠী ও উপজাতি, বাংলাদেশের জাতীয় অর্জন, গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তি, প্রতিষ্ঠান ও স্থাপনাসমূহ, জাতীয় পুরস্কার, বাংলাদেশের খেলাধুলাসহ চলচ্চিত্র এবং গণমাধ্যম।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
ভগ্নাংশ
ভগ্নাংশ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions