If $t_{n}$ denotes the $n^{th}$ term of the series 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +....... what will be the $25^{th}$ term of the series?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option D
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + .......
ধারাটির পদগুলোর মধ্যকার পার্থক্য লক্ষ্য করি:
3 - 2 = 1
6 - 3 = 3
11 - 6 = 5
18 - 11 = 7
পার্থক্যগুলো 1, 3, 5, 7... যা বিজোড় সংখ্যার একটি ধারা।
ধারাটির পদগুলোর গঠন বিশ্লেষণ:
১ম পদ (t1) = 2 = 02 + 2 = (1-1)2 + 2
২য় পদ (t2) = 3 = 12 + 2 = (2-1)2 + 2
৩য় পদ (t3) = 6 = 22 + 2 = (3-1)2 + 2
৪র্থ পদ (t4) = 11 = 32 + 2 = (4-1)2 + 2
৫ম পদ (t5) = 18 = 42 + 2 = (5-1)2 + 2
উপরের প্যাটার্ন থেকে আমরা n-তম পদের সাধারণ রূপ পাই:
tn = (n-1)2 + 2
যেহেতু ২৫ তম পদ (t25) চাওয়া হয়েছে, সুতরাং n = 25 বসিয়ে পাই:
t25 = (25-1)2 + 2
∴ ২৫ তম পদ = 242 + 2
ধারাটির পদগুলোর মধ্যকার পার্থক্য লক্ষ্য করি:
3 - 2 = 1
6 - 3 = 3
11 - 6 = 5
18 - 11 = 7
পার্থক্যগুলো 1, 3, 5, 7... যা বিজোড় সংখ্যার একটি ধারা।
ধারাটির পদগুলোর গঠন বিশ্লেষণ:
১ম পদ (t1) = 2 = 02 + 2 = (1-1)2 + 2
২য় পদ (t2) = 3 = 12 + 2 = (2-1)2 + 2
৩য় পদ (t3) = 6 = 22 + 2 = (3-1)2 + 2
৪র্থ পদ (t4) = 11 = 32 + 2 = (4-1)2 + 2
৫ম পদ (t5) = 18 = 42 + 2 = (5-1)2 + 2
উপরের প্যাটার্ন থেকে আমরা n-তম পদের সাধারণ রূপ পাই:
tn = (n-1)2 + 2
যেহেতু ২৫ তম পদ (t25) চাওয়া হয়েছে, সুতরাং n = 25 বসিয়ে পাই:
t25 = (25-1)2 + 2
∴ ২৫ তম পদ = 242 + 2