৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১ 

সুতরাং ৯৭ এবং ৪১ এর গড় = ৯৭+৪১/২ 

                                  = ১৩৮/২ 

                                  = ৬৯ 

সংখ্যাটির একক স্থানীয় মান = a 

             দশক    "    "    = b 

    সংখ্যাটি = a+10×b 

               = a+10b 

ধরি, 

  সংখ্যাটি = x 

    x × ১২/১০০ = ৯৬ 

=> x = ৯৬×১০০/১২ 

=> x = ৮০০ 

 log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ) 

=> log_k (a/b)^n +  log_k (b/c)^n +  log_k (c/a)^n 

=> n  log_k a/b + n  log_k b/c + n  log_k c/a 

=> n (  log_k a/b +  log_k b/c +  log_k c/a) 

=> n { log_k (a/b×b/c×c/a)} 

=> n  log_k 1 

=> n×0       [  log_k 1 = o ] 

 => 0 

  9-12x+ax² = 3^2 - 2.3.2x + (2x)^2 + ax^2 - 4x^2 

=> 9 - 12x + ax^2 = (3 - 2x)^2 + ax^2 - 4x^2 

 সুতরাং রাশিটি পূর্ণবর্গ হতে হলে ax^2 - 4x^2 = 0 হবে । 

                                   => ax^2 = 4x^2 

                                   => a = 4 

আমরা জানি, 

  দুটি সংখ্যার গুণফল = ল. সা. গু. × গ. সা. গু. 

  অপর সংখ্যাটি = ল. সা. গু. × গ. সা. গু. / একটি সংখ্যা 

                     = ১২×৩৩৬/৪৮ 

                     = ৮৪ 

মনে করি, 1/x-y এবং 1/x+y এর যোগফল থেকে P বিয়োগ করলে বিয়োগফল 2 হবে । 

   1/x-y + 1/x+y - p = 2 

=> p = 1/x-y + 1/x+y - 2 

=> p = x+y+x-y-2 (x+y) (x-y) / (x+y) (x-y) 

=> p = 2x - 2(x^2-y^2) / (x^2 - y^2) 

=> p = 2x/(x^2-y^2) - 2(x^2 - y^2) /(x^2 - y^2) 

=> p = 2x/(x^2 - y^2)  - 2  

 সুতরাং 2x/(x²−y²)−2 বিয়োগ করতে হবে । 

A = {1,2} এবং B = {2,5} 

  P(A) = {{1}, {2}, {1,2}, ∅} 

এবং P(B) = {2}, {5}, {2,5}, ∅ 

   P(A) ∩ P(B) 

            = {{1}, {2}, {1,2}, ∅} ∩ {{2}, {5}, {2,5}, ∅}  

            = {∅, {2}} 

মনেকরি, 

          মোট বাঁশ = ১ অংশ 

 কাগজ দ্বারা আবৃত অংশ = (২/৫+১/৪+১/৩) অংশ 

                                = (২৪+১৫+২০/৬০) " 

                                = ৫৯/৬০ অংশ 

 সুতরাং অবশিষ্ট অংশ = (১- ৫৯/৬০) অংশ 

                           = ৬০-৫৯/৬০ " 

                           = ১/৬০ 

   ১/৬০ অংশ = ৬ মিটার 

                  = (৬ × ৬০) মিটার 

                   = ৩৬০ মিটার 

Sin(A+B) = Sin(π/3+π/3) 

              = Sin(2π/3) 

             = Sin 120^o     [π = 180^o ]  

             = Sin (90^o + 30^o) 

             = Cos 30^o 

             =  √3/2 

এখানে, ১২, ১৬, ১৮ এর ল. সা. গু. = ১৪৪  

  নির্ণেয় সংখ্যাটি = (১৪৪+৭) 

                     = ১৫১ 

এখানে দেখতে হবে (2, -5) সমীকরণটি নিচের কোন সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে । 

ক. 2.2 + (-5) = -1 ≠ 1 

খ. 2.2 - (-5) + 1 = 10 ≠ 0  

গ. 4.2 -3 (-5) = 8 + 15 = 23 

সুতরাং (2, -5) বিন্দুতে সরলরেখাটির জন্য সঠিক । 

সুতরাং নির্ণেয় সরলরেখাটি হলো 4x - 3y = 23 

ধরি, বিক্রয়মূল্য = ক
তাহলে ক্রয়মূল্য = ক এর ৪/৫ = ৪ক/৫
সুতরাং শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য)×১০০/ক্রয়মূল্য = {(ক - ৪ক/৫)×১০০/৪ক/৫}

= {((৫ক-৪ক)/৫)×১০০/৪ক/৫}

= {ক/৫×১০০/৪ক/৫} = {ক/৫×১০০×৫/৪ক}=২৫%

 

এই ধরনের আরো অংক হলোঃ

২০ টাকায় ১২ টি করে আম কিনে প্রতিটি ২ টাকা করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য
= (২৪ – ২০) x ১০০ / ২০
= ২০%

মনেকরি, একটি সংখ্যা x
এবং, অপর সংখ্যাটি x + ১
শর্তমতে, (x + ১)^২ - x^২= ১৯৯
⇒ x^২+ ২x + ১ - x^২ = ১৯৯
⇒ ২x + ১ = ১৯৯
⇒ x = ১৯৯ – ১
⇒ ২x = ১৯৮
∴ x = ৯৯
∴  একটি সংখ্যা = ৯৯ এবং অপর সংখ্যাটি = ৯৯ + ১ = ১০০

  (৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৩ × ২) 

= ১২ ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৬) 

= ৪ × ২ - ১ 

= ৮ - ১ 

= ৭ 

   │x+1│< 3 

=> -3 < x + 1 < 3 

=> -3 - 1 < x + 1 - 1 < 3 - 1 

=> -4 < x < 2 

 

√3−1/x = x 

=> x+ 1/x = √3 

এখন,
x³+x+1/x+1/x³ = (x+ 1/x)^3 - 3.x. 1/x (x+ 1/x) + x + 1/x 

                           = (√3)^3 - 3√3 + √3 

                           = 3√3 - 3√3 + √3 

                           = √3 

  2^{x + 2} = 16 

⇒  2^{x + 2}  = 2⁴ 

⇒ x + 2 = 4

⇒ x = 2 

 5^{x − 2}  =  5^2-2 

          = 5⁰ 

          = 1  

Congenial to Something অর্থ কোনো কিছুর উপযোগী বা উপকারী । 

Hang around -ইতস্তত ঘোরাফেরা করা । The new moon hung around the mountains. 

Split (ভেঙে টুকরো হওয়া বা টুকরো করা ) -এর past farm বা past participle একই অর্থাৎ split । Split শব্দটিকে past form এবং Past participle form করতে রূপের পরিবর্তন করতে হয় না । 

'Bring to pass' idiom টির বাংলা অর্থ কোনো কিছু ঘটানো বা সম্পূর্ণ করা যা cause to happen দ্বারা প্রকাশ পায় । 

'Sons and Lovers' হলো D. H. Lawrence -এর একটি উপন্যাস । যা ১৯১৩ সালে প্রকাশিত হয় । তাছাড়া তার উল্লেখযোগ্য সাহিত্য কর্ম হলো- The White peacock, Women in Love এবং Lady Chatterley's Lover । 

Blood is always thicker than water একটি প্রবাদ বাক্য যার অর্থ রক্তের টান বড় টান । 

প্রদত্ত বাক্যের শূন্যস্থানে inhibit বসবে, কেননা inhibit অর্থ বাধাগ্রস্ত করা; সংযত করা । আর inhibit বসিয়ে প্রদত্ত বাক্যটির অর্থ অ্যান্টিবায়োটিক ব্যাকটেরিয়া বৃদ্ধিকে প্রতিহত বা বাধাগ্রস্ত করে । অন্যদিকে inhabit অর্থ বসবাস করা, jsolt অর্থ ঝাঁকি দেয়া, আর gruesome অর্থ ভয়াবহ; বিভীষিকাময় । 

'Make out' phrase টির বাংলা অর্থ প্রতিপাদন করা বা প্রমাণ করা যা prove দ্বারা প্রকাশ পায় । অন্যদিকে escape অর্থ এড়িয়ে চলা, destroy অর্থ ধ্বংস করা । আর repair অর্থ মেরামত করা বা সংশোধন করা । 

বাক্যটি Passive voice এ আছে। তাছাড়া A basket of rotten oranges এর মধ্যে headword হচ্ছে basket যা singular. তাই verb singular হিসেবে was হবে।