The interior angles of a polygon are in AP. The smallest angle is 120º and the common difference is 5º. Find the number of sides of the polygon.
Solution
Correct Answer: Option C
আমরা জানি ,সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রে অন্তস্থ কোণ গুলোর সমষ্টি =(n-2)× 180⁰
যেখানে n হল ভুজের বা বাহুর সংখ্যা ।
আবার ,সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে n তম পদের সমষ্টি
S=n/2 {2a+(n-1)d}
=n/2 {2× 120⁰+(n-1)5⁰
=n/2{240⁰+(n-1)5⁰
শর্তমতে ,
(n-2)× 180⁰=n/2{240⁰+n-1)5⁰
বা, 180n-360=n/2{240+5n-5}
বা , 160n-720=n{235+5n}
বা , 360n-720=235n+5n²
বা, 5n²+235n-360n+720=0
বা, 5n²-125n+720=0
বা, n²-25n+144=0
বা, n²- 16n-9n+144=0
বা , (n-16)-9(n-16)=0
∴n=9,16
কিন্তু n=16 সম্ভব নয় ,কারণ
a₁₆ =a+(n-1)d
=120⁰+(16-1)5⁰
=120⁰+15×15⁰
= 120⁰ +75⁰
=195⁰ যা 180⁰ থেকে বড় ।
এজন্য n=১৬ গ্রহণযোগ্য নয়
∴ বহুভুজের সংখ্যা =9 টি
যেখানে n হল ভুজের বা বাহুর সংখ্যা ।
আবার ,সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে n তম পদের সমষ্টি
S=n/2 {2a+(n-1)d}
=n/2 {2× 120⁰+(n-1)5⁰
=n/2{240⁰+(n-1)5⁰
শর্তমতে ,
(n-2)× 180⁰=n/2{240⁰+n-1)5⁰
বা, 180n-360=n/2{240+5n-5}
বা , 160n-720=n{235+5n}
বা , 360n-720=235n+5n²
বা, 5n²+235n-360n+720=0
বা, 5n²-125n+720=0
বা, n²-25n+144=0
বা, n²- 16n-9n+144=0
বা , (n-16)-9(n-16)=0
∴n=9,16
কিন্তু n=16 সম্ভব নয় ,কারণ
a₁₆ =a+(n-1)d
=120⁰+(16-1)5⁰
=120⁰+15×15⁰
= 120⁰ +75⁰
=195⁰ যা 180⁰ থেকে বড় ।
এজন্য n=১৬ গ্রহণযোগ্য নয়
∴ বহুভুজের সংখ্যা =9 টি
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions