All the faces of a cube are painted with blue colour. Then it is cut into 64 small equal cubes. How many small cubes will be formed having no face coloured?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option B
একটি বড় ঘনক (Cube) থেকে ছোট ছোট সমান ঘনক তৈরি করে তাতে রং করার অংকগুলো একটি নির্দিষ্ট নিয়মে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।
- প্রথমে আমাদের বের করতে হবে বড় ঘনকটির প্রতি ধারে (Edge) কয়টি করে ছোট ঘনক আছে। ধরি, এই সংখ্যাটি হলো $n$।
- প্রশ্ন অনুযায়ী, মোট ছোট ঘনকের সংখ্যা $n^3 = 64$।
- অতএব, $n = \sqrt {64} = 4$। অর্থাৎ বড় ঘনকটির প্রতি ধারে ৪টি করে ছোট ঘনক রয়েছে।
এখন একটু কল্পনা করো, যখন বড় ঘনকটির সম্পূর্ণ বাইরের অংশে রং করা হয়, তখন কেবল বাইরের স্তরের ঘনকগুলোতেই রং লাগে। যে ঘনকগুলো এই বাইরের আবরণের ঠিক ভেতরে লুকিয়ে থাকে, সেগুলোতে কোনো রং পৌঁছায় না।
- কোনো তলেই রং নেই এমন ভেতরের ছোট ঘনকের সংখ্যা বের করার সূত্রটি হলো $(n-2)^3$।
- এখানে $n$ থেকে ২ বিয়োগ করার কারণ হলো, যেকোনো ধারের দুই প্রান্ত থেকেই ১টি করে মোট ২টি ঘনকের স্তর (যাতে রং লেগেছে) আমাদের বাদ দিতে হয়।
- তাহলে সূত্র অনুযায়ী হিসাব করলে আমরা পাই: $(4 - 2)^3 = 2^3 = 8$।
অতএব, কোনো পাশেই রং নেই এমন ছোট ঘনক তৈরি হবে ৮টি।
সোর্সঃ খাইরুল মানসিক দক্ষতা।
- প্রথমে আমাদের বের করতে হবে বড় ঘনকটির প্রতি ধারে (Edge) কয়টি করে ছোট ঘনক আছে। ধরি, এই সংখ্যাটি হলো $n$।
- প্রশ্ন অনুযায়ী, মোট ছোট ঘনকের সংখ্যা $n^3 = 64$।
- অতএব, $n = \sqrt {64} = 4$। অর্থাৎ বড় ঘনকটির প্রতি ধারে ৪টি করে ছোট ঘনক রয়েছে।
এখন একটু কল্পনা করো, যখন বড় ঘনকটির সম্পূর্ণ বাইরের অংশে রং করা হয়, তখন কেবল বাইরের স্তরের ঘনকগুলোতেই রং লাগে। যে ঘনকগুলো এই বাইরের আবরণের ঠিক ভেতরে লুকিয়ে থাকে, সেগুলোতে কোনো রং পৌঁছায় না।
- কোনো তলেই রং নেই এমন ভেতরের ছোট ঘনকের সংখ্যা বের করার সূত্রটি হলো $(n-2)^3$।
- এখানে $n$ থেকে ২ বিয়োগ করার কারণ হলো, যেকোনো ধারের দুই প্রান্ত থেকেই ১টি করে মোট ২টি ঘনকের স্তর (যাতে রং লেগেছে) আমাদের বাদ দিতে হয়।
- তাহলে সূত্র অনুযায়ী হিসাব করলে আমরা পাই: $(4 - 2)^3 = 2^3 = 8$।
অতএব, কোনো পাশেই রং নেই এমন ছোট ঘনক তৈরি হবে ৮টি।
সোর্সঃ খাইরুল মানসিক দক্ষতা।
