$\frac{1}{x - 3}+ \frac{1}{x - 4}= \frac{1}{x - 2}+ \frac{1}{x - 5}$ হলে, x এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{1}{x - 3}+ \frac{1}{x - 4}= \frac{1}{x - 2}+ \frac{1}{x - 5}$

এই ধরনের অংকগুলো সহজে সমাধান করার জন্য আমরা সমীকরণের পদগুলোকে একটু সাজিয়ে নিতে পারি। চলো, ধাপে ধাপে অংকটি সমাধান করি।

বিস্তারিত সমাধান:
- প্রথমে বাম পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ ডান পাশে এবং ডান পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বাম পাশে নিয়ে আসি (যাতে হিসাবের সুবিধা হয়):
$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 4}$

- এবার সমীকরণের উভয় পাশে লসাগু (L.C.M) করে বিয়োগ করি:
$\frac{(x - 2) - (x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{(x - 4) - (x - 5)}{(x - 5)(x - 4)}$

- উপরের বন্ধনী তুলে দিয়ে যোগ-বিয়োগ করলে দাঁড়ায়:
$\frac{x - 2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3x + 6} = \frac{x - 4 - x + 5}{x^2 - 4x - 5x + 20}$

- লবের কাটাকাটি শেষে উভয় পাশেই ১ অবশিষ্ট থাকে:
$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{x^2 - 9x + 20}$

- যেহেতু উভয় ভগ্নাংশের লব সমান (১), তাই সমীকরণটি সত্য হতে হলে তাদের হরগুলোও অবশ্যই সমান হতে হবে। তাই আমরা আড়াআড়ি গুণ করে লিখতে পারি:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 9x + 20$

- উভয় পাশ থেকে $x^2$ বাদ দিলে সমীকরণটি ছোট হয়ে যায়:
$- 5x + 6 = - 9x + 20$

- এবার $x$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং সংখ্যাগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$9x - 5x = 20 - 6$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4}$
$x = 3.5$

শর্টকাট বা ম্যাজিক নিয়ম:
যখন কোনো সমীকরণের ভগ্নাংশগুলোর লব ১ হয় এবং বামপাশের হরগুলোর যোগফল ও ডানপাশের হরগুলোর যোগফল একদম সমান হয়, তখন সেই যোগফল সমান শূন্য (০) ধরলেই খুব দ্রুত $x$-এর মান বের হয়ে যায়।
- বামপাশের হরের যোগফল = $(x - 3) + (x - 4) = 2x - 7$
- ডানপাশের হরের যোগফল = $(x - 2) + (x - 5) = 2x - 7$

যেহেতু উভয় পাশের হরের যোগফল সমান, তাই আমরা লিখতে পারি:
$2x - 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 3.5।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত