দুটি ধনাত্মক বর্গের অন্তর ১১ এবং তাদের গুণফল ৩০ হলে সংখ্যা দুটি কত?
Solution
Correct Answer: Option A
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y, যেখানে x > y।
প্রশ্নমতে,
সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর, x² - y² = ১১ ........... (i)
এবং সংখ্যা দুটির গুণফল, xy = ৩০ .......... (ii)
আমরা জানি,
(x² + y²)² = (x² - y²)² + 4x²y²
বা, (x² + y²)² = (x² - y²)² + 4(xy)²
বা, (x² + y²)² = (১১)² + ৪(৩০)² [মান বসিয়ে]
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৪ × ৯০০
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৩৬০০
বা, (x² + y²)² = ৩৭২১
বা, x² + y² = √৩৭২১
∴ x² + y² = ৬১ .......... (iii)
এখন, সমীকরণ (iii) ও (i) যোগ করে পাই,
x² + y² + x² - y² = ৬১ + ১১
বা, 2x² = ৭২
বা, x² = ৭২ / ২
বা, x² = ৩৬
∴ x = ৬ [বর্গমূল করে]
আবার, সমীকরণ (ii) হতে পাই,
৬y = ৩০
বা, y = ৩০ / ৬
∴ y = ৫
সুতরাং, সংখ্যা দুটি ৬ ও ৫।
বিকল্প বা শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য):
প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যা দুটির গুণফল ৩০। অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখি কোন জোড়ার গুণফল ৩০ এবং বর্গের অন্তর ১১।
অপশন ১: ৬ ও ৫
গুণফল: ৬ × ৫ = ৩০ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
বর্গের অন্তর: ৬² - ৫² = ৩৬ - ২৫ = ১১ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
যেহেতু দুটি শর্তই মিলে গেছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অপশন ২: ৬ ও ৪
গুণফল: ৬ × ৪ = ২৪ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৩: ৩ ও ৫
গুণফল: ৩ × ৫ = ১৫ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৪: ৫ ও ৪
গুণফল: ৫ × ৪ = ২০ (শর্ত পূরণ হয়নি)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ৬ ও ৫।
প্রশ্নমতে,
সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর, x² - y² = ১১ ........... (i)
এবং সংখ্যা দুটির গুণফল, xy = ৩০ .......... (ii)
আমরা জানি,
(x² + y²)² = (x² - y²)² + 4x²y²
বা, (x² + y²)² = (x² - y²)² + 4(xy)²
বা, (x² + y²)² = (১১)² + ৪(৩০)² [মান বসিয়ে]
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৪ × ৯০০
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৩৬০০
বা, (x² + y²)² = ৩৭২১
বা, x² + y² = √৩৭২১
∴ x² + y² = ৬১ .......... (iii)
এখন, সমীকরণ (iii) ও (i) যোগ করে পাই,
x² + y² + x² - y² = ৬১ + ১১
বা, 2x² = ৭২
বা, x² = ৭২ / ২
বা, x² = ৩৬
∴ x = ৬ [বর্গমূল করে]
আবার, সমীকরণ (ii) হতে পাই,
৬y = ৩০
বা, y = ৩০ / ৬
∴ y = ৫
সুতরাং, সংখ্যা দুটি ৬ ও ৫।
বিকল্প বা শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য):
প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যা দুটির গুণফল ৩০। অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখি কোন জোড়ার গুণফল ৩০ এবং বর্গের অন্তর ১১।
অপশন ১: ৬ ও ৫
গুণফল: ৬ × ৫ = ৩০ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
বর্গের অন্তর: ৬² - ৫² = ৩৬ - ২৫ = ১১ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
যেহেতু দুটি শর্তই মিলে গেছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অপশন ২: ৬ ও ৪
গুণফল: ৬ × ৪ = ২৪ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৩: ৩ ও ৫
গুণফল: ৩ × ৫ = ১৫ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৪: ৫ ও ৪
গুণফল: ৫ × ৪ = ২০ (শর্ত পূরণ হয়নি)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ৬ ও ৫।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৩২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১২
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়)- হিসাববিজ্ঞান
টপিকসঃ
করবিধি (Taxation)
১২ মে, ২০২৬ থেকে পরীক্ষা শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions