1/3, 1/√3, 1 ধারাটির কোন পদ 9 হবে?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি: $1/3, 1/\sqrt{3}, 1, \dots$
এখানে,
১ম পদ, $a = 1/3$
২য় পদ = $1/\sqrt{3}$
৩য় পদ = $1$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{২য় পদ}{১ম পদ}$
$= \frac{1/\sqrt{3}}{1/3}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{1}$
$= \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}$
$= \sqrt{3}$
যেহেতু অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = $ar^{n-1}$
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = $9$
প্রশ্নমতে,
$ar^{n-1} = 9$
বা, $\frac{1}{3} \times (\sqrt{3})^{n-1} = 9$ [a ও r এর মান বসিয়ে]
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = 9 \times 3$
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = 27$
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = 3^3$
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^2{^3}$ [যেহেতু $3 = (\sqrt{3})^2$]
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^6$
বা, $n - 1 = 6$ [উভয়পক্ষের ভিত্তি $\sqrt{3}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = 6 + 1$
$\therefore n = 7$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে $9$।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের ধারার ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাতটি ($r$) বের করে পরবর্তী পদগুলো গুণ করে সহজেই কাঙ্ক্ষিত পদে পৌঁছানো যায়।
এখানে, $r = \sqrt{3}$ এবং ৩য় পদ = $1$
৪র্থ পদ = $1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$
৫ম পদ = $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$
৬ষ্ঠ পদ = $3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
৭ম পদ = $3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \times 3 = 9$
সুতরাং, ৭ম পদটি হলো $9$।
এখানে,
১ম পদ, $a = 1/3$
২য় পদ = $1/\sqrt{3}$
৩য় পদ = $1$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{২য় পদ}{১ম পদ}$
$= \frac{1/\sqrt{3}}{1/3}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{1}$
$= \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}$
$= \sqrt{3}$
যেহেতু অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = $ar^{n-1}$
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = $9$
প্রশ্নমতে,
$ar^{n-1} = 9$
বা, $\frac{1}{3} \times (\sqrt{3})^{n-1} = 9$ [a ও r এর মান বসিয়ে]
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = 9 \times 3$
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = 27$
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = 3^3$
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^2{^3}$ [যেহেতু $3 = (\sqrt{3})^2$]
বা, $(\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^6$
বা, $n - 1 = 6$ [উভয়পক্ষের ভিত্তি $\sqrt{3}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = 6 + 1$
$\therefore n = 7$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে $9$।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের ধারার ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাতটি ($r$) বের করে পরবর্তী পদগুলো গুণ করে সহজেই কাঙ্ক্ষিত পদে পৌঁছানো যায়।
এখানে, $r = \sqrt{3}$ এবং ৩য় পদ = $1$
৪র্থ পদ = $1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$
৫ম পদ = $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$
৬ষ্ঠ পদ = $3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
৭ম পদ = $3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \times 3 = 9$
সুতরাং, ৭ম পদটি হলো $9$।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions