When the positive integers x and y are divided by the positive integer z, they yield remainders 12 and 22, respectively. If (x + y) is divided by z, the remainder is 6. What is the value of z?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রশ্নে দেওয়া আছে, $x$ এবং $y$ কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 12 এবং 22 পাওয়া যায়।
সুতরাং, আমরা $x$ এবং $y$ কে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = az + 12$ ......(i)
$y = bz + 22$ ......(ii)
[যেখানে $a$ এবং $b$ হলো ভাগফল]
এখন প্রশ্ন অনুসারে আমাদের $(x + y)$ নির্ণয় করতে হবে। (i) এবং (ii) কে যোগ করে পাই:
$x + y = (az + 12) + (bz + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + (12 + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + 34$
এখন এই $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখানে, $z(a + b)$ অংশটি $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। তাই ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা 34 এর ওপর।
শর্তমতে, $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হবে।
অর্থাৎ, 34 কে $z$ দিয়ে ভাগ করলেও ভাগশেষ 6 থাকতে হবে।
তাহলে, $z$ এমন একটি সংখ্যা যা দিয়ে 34 কে ভাগ করলে 6 অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, $34 - 6 = 28$ সংখ্যাটি অবশ্যই $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
এখন 28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।
কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক ($z$) অবশ্যই ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রশ্নে প্রাথমিক ভাগশেষগুলো ছিল 12 এবং 22। তাই $z$ এর মান অবশ্যই 22 এর চেয়ে বড় হতে হবে ($z > 22$)।
28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে একমাত্র 28 সংখ্যাটিই 22 এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাজক $z = 28$।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সংখ্যাকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ হয় এবং তাদের যোগফলকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $r_3$ হয়, তবে ভাজক $d$ বের করার সূত্রটি হলো:
$d = r_1 + r_2 - r_3$
এখানে,
প্রথম ভাগশেষ, $r_1 = 12$
দ্বিতীয় ভাগশেষ, $r_2 = 22$
যোগফলের ভাগশেষ, $r_3 = 6$
ভাজক, $z = ?$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
$z = 12 + 22 - 6$
বা, $z = 34 - 6$
বা, $z = 28$
সুতরাং, আমরা $x$ এবং $y$ কে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = az + 12$ ......(i)
$y = bz + 22$ ......(ii)
[যেখানে $a$ এবং $b$ হলো ভাগফল]
এখন প্রশ্ন অনুসারে আমাদের $(x + y)$ নির্ণয় করতে হবে। (i) এবং (ii) কে যোগ করে পাই:
$x + y = (az + 12) + (bz + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + (12 + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + 34$
এখন এই $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখানে, $z(a + b)$ অংশটি $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। তাই ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা 34 এর ওপর।
শর্তমতে, $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হবে।
অর্থাৎ, 34 কে $z$ দিয়ে ভাগ করলেও ভাগশেষ 6 থাকতে হবে।
তাহলে, $z$ এমন একটি সংখ্যা যা দিয়ে 34 কে ভাগ করলে 6 অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, $34 - 6 = 28$ সংখ্যাটি অবশ্যই $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
এখন 28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।
কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক ($z$) অবশ্যই ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রশ্নে প্রাথমিক ভাগশেষগুলো ছিল 12 এবং 22। তাই $z$ এর মান অবশ্যই 22 এর চেয়ে বড় হতে হবে ($z > 22$)।
28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে একমাত্র 28 সংখ্যাটিই 22 এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাজক $z = 28$।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সংখ্যাকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ হয় এবং তাদের যোগফলকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $r_3$ হয়, তবে ভাজক $d$ বের করার সূত্রটি হলো:
$d = r_1 + r_2 - r_3$
এখানে,
প্রথম ভাগশেষ, $r_1 = 12$
দ্বিতীয় ভাগশেষ, $r_2 = 22$
যোগফলের ভাগশেষ, $r_3 = 6$
ভাজক, $z = ?$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
$z = 12 + 22 - 6$
বা, $z = 34 - 6$
বা, $z = 28$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৩২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১২
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়)- হিসাববিজ্ঞান
টপিকসঃ
করবিধি (Taxation)
১২ মে, ২০২৬ থেকে পরীক্ষা শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions