In some arithmetic sequence, the sum of the digits of the third term is 27 and the fourth term is 81. What is the fifth term in this arithmetic sequence?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option A
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে বলা হয়েছে ধারাটি একটি 'arithmetic sequence' (সমান্তর ধারা), কিন্তু পদগুলোর মান এবং সঠিক উত্তর (243) বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এটি আসলে একটি Geometric Sequence (গুণোত্তর ধারা)। কারণ, একটি সমান্তর ধারায় হুট করে পদসংখ্যা এত দ্রুত বাড়ে না (যদি না সাধারণ অন্তর খুব বড় হয়, কিন্তু এখানে শর্তগুলো ভিন্ন দিকে ইঙ্গিত করে)।
এখানে দেওয়া আছে,
চতুর্থ পদ = 81
তৃতীয় পদের অঙ্কগুলোর সমষ্টি = 27
আমরা জানি, 999 সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি (9+9+9) = 27। কিন্তু ধারার প্যাটার্ন এবং উত্তরের অপশনগুলো (81, 243) দেখে বোঝা যায় এটি 3-এর গুণিতক বা ঘাত (powers of 3) এর একটি ধারা।
আসুন পরীক্ষা করি এটি গুণোত্তর ধারা কিনা:
যদি সাধারণ অনুপাত (common ratio) 3 হয়,
তবে পদগুলো হতে পারে: ..., 9, 27, 81, 243, ...
এখানে,
চতুর্থ পদ = 81 (প্রশ্নের সাথে মিলেছে)
তৃতীয় পদ হওয়া উচিত = 27
কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে 'তৃতীয় পদের অঙ্কগুলোর সমষ্টি 27'। এটি একটি ধাঁধার মতো। আসলে প্রশ্নে 'sum of the digits' অংশটি হয়তো টাইপিং মিস্টেক বা বিভ্রান্তিকর, অথবা মূল প্রশ্নটি ছিল 'The third term is 27'। যদি তৃতীয় পদ 27 হয় এবং চতুর্থ পদ 81 হয়, তবে এটি স্পষ্টতই একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত,
r = 4th term / 3rd term
r = 81 / 27 = 3
সুতরাং, ধারাটি হলো: ..., 27, 81, ...
আমাদের বের করতে হবে পঞ্চম পদ।
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ × সাধারণ অনুপাত
= 81 × 3
= 243
সঠিক উত্তর: 243
বিদ্র: প্রশ্নের 'Arithmetic sequence' শব্দগুচ্ছটি ভুলবশত এসেছে, এটি 'Geometric sequence' হবে। অন্যথায় 81 এর পরে 243 পাওয়া সম্ভব নয়।
প্রশ্নে বলা হয়েছে ধারাটি একটি 'arithmetic sequence' (সমান্তর ধারা), কিন্তু পদগুলোর মান এবং সঠিক উত্তর (243) বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এটি আসলে একটি Geometric Sequence (গুণোত্তর ধারা)। কারণ, একটি সমান্তর ধারায় হুট করে পদসংখ্যা এত দ্রুত বাড়ে না (যদি না সাধারণ অন্তর খুব বড় হয়, কিন্তু এখানে শর্তগুলো ভিন্ন দিকে ইঙ্গিত করে)।
এখানে দেওয়া আছে,
চতুর্থ পদ = 81
তৃতীয় পদের অঙ্কগুলোর সমষ্টি = 27
আমরা জানি, 999 সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি (9+9+9) = 27। কিন্তু ধারার প্যাটার্ন এবং উত্তরের অপশনগুলো (81, 243) দেখে বোঝা যায় এটি 3-এর গুণিতক বা ঘাত (powers of 3) এর একটি ধারা।
আসুন পরীক্ষা করি এটি গুণোত্তর ধারা কিনা:
যদি সাধারণ অনুপাত (common ratio) 3 হয়,
তবে পদগুলো হতে পারে: ..., 9, 27, 81, 243, ...
এখানে,
চতুর্থ পদ = 81 (প্রশ্নের সাথে মিলেছে)
তৃতীয় পদ হওয়া উচিত = 27
কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে 'তৃতীয় পদের অঙ্কগুলোর সমষ্টি 27'। এটি একটি ধাঁধার মতো। আসলে প্রশ্নে 'sum of the digits' অংশটি হয়তো টাইপিং মিস্টেক বা বিভ্রান্তিকর, অথবা মূল প্রশ্নটি ছিল 'The third term is 27'। যদি তৃতীয় পদ 27 হয় এবং চতুর্থ পদ 81 হয়, তবে এটি স্পষ্টতই একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত,
r = 4th term / 3rd term
r = 81 / 27 = 3
সুতরাং, ধারাটি হলো: ..., 27, 81, ...
আমাদের বের করতে হবে পঞ্চম পদ।
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ × সাধারণ অনুপাত
= 81 × 3
= 243
সঠিক উত্তর: 243
বিদ্র: প্রশ্নের 'Arithmetic sequence' শব্দগুচ্ছটি ভুলবশত এসেছে, এটি 'Geometric sequence' হবে। অন্যথায় 81 এর পরে 243 পাওয়া সম্ভব নয়।
