৫ জন প্রতিযোগীর মধ্যে ৩টি পুরস্কার কতভাবে বিতরণ করা যায়?

চলো অংকটা খুব সহজে ধাপে ধাপে বুঝে নিই!
এখানে আমাদের কাছে মোট প্রতিযোগী আছে $5$ জন এবং পুরস্কার আছে $3$ টি। একজন প্রতিযোগী একটির বেশি পুরস্কার পাবে না ধরে নিয়ে আমরা ধাপে ধাপে পুরস্কারগুলো বিতরণ করব:
- প্রথম পুরস্কারটি আমরা ৫ জন প্রতিযোগীর যে কাউকে দিতে পারি। তাই প্রথম পুরস্কারটি দেওয়ার উপায় = $5$ টি।
- প্রথম পুরস্কারটি একজনকে দেওয়া হয়ে গেলে, বাকি রইল ৪ জন প্রতিযোগী। এখন দ্বিতীয় পুরস্কারটি এই ৪ জনের যে কাউকে দেওয়া যেতে পারে। তাই দ্বিতীয় পুরস্কারটি দেওয়ার উপায় = $4$ টি।
- একইভাবে, দ্বিতীয় পুরস্কারটি দেওয়ার পর প্রতিযোগী বাকি রইল ৩ জন। তৃতীয় পুরস্কারটি এই ৩ জনের যে কাউকে দেওয়া যেতে পারে। তাই তৃতীয় পুরস্কারটি দেওয়ার উপায় = $3$ টি।
এখন, মোট কতভাবে পুরস্কারগুলো বিতরণ করা যায় তা বের করতে হলে এই তিনটি উপায় গুণ করতে হবে।
- মোট উপায় = $5 \times 4 \times 3 = 60$
সূত্রের সাহায্যে (বিন্যাস বা Permutation):
যখন $n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে $r$ সংখ্যক জিনিস নিয়ে সাজাতে বা বিতরণ করতে হয়, তখন আমরা $^nP_r$ সূত্রটি ব্যবহার করি।
এখানে, মোট প্রতিযোগী $n = 5$ এবং পুরস্কার $r = 3$
আমরা জানি, $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
অতএব, মোট উপায় = $^5P_3$
$= \frac{5!}{(5-3)!}$
$= \frac{5!}{2!}$
$= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!}$
$= 5 \times 4 \times 3 = 60$
তাই সঠিক উত্তর হবে $60$।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।