৪, ৯, ১৪, .... সমান্তর ধারাটির কতগুলো পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে?
Solution
Correct Answer: Option A
এখানে দেওয়া আছে একটি সমান্তর ধারা: ৪, ৯, ১৪, ....
সমান্তর ধারার অংকগুলো সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে ধারার প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর বের করে নিতে হয়।
- প্রথম পদ ($a$) = $4$
- সাধারণ অন্তর ($d$) = দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = $9 - 4 = 5$
- ধরি, ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$) = $378$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো: $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$
এখন এই সূত্রে মানগুলো বসিয়ে দিই:
$378 = \frac{n}{2} \{2 \times 4 + (n-1)5\}$
$378 \times 2 = n \{8 + 5n - 5\}$
$756 = n(5n + 3)$
$5n^2 + 3n - 756 = 0$
এখন এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Middle term) করতে হবে।
$5n^2 + 63n - 60n - 756 = 0$
$n(5n + 63) - 12(5n + 63) = 0$
$(5n + 63)(n - 12) = 0$
এখান থেকে আমরা দুটি মান পাই, $n = 12$ অথবা $5n + 63 = 0 \Rightarrow n = -\frac{63}{5}$।
যেহেতু পদের সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক (negative) বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = 12$ হবে সঠিক উত্তর।
অর্থাৎ, ধারাটির ১২টি পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে।
মজার কৌশল (Option Test):
পরীক্ষার হলে এতো বড় সমীকরণ সমাধান না করে আমরা সরাসরি অপশন থেকেও উত্তর বের করতে পারি।
যদি অপশন ১ থেকে $n = 12$ ধরি, তবে সমষ্টি হবে: $\frac{12}{2} \{2 \times 4 + (12-1) \times 5\} = 6 \times (8 + 55) = 6 \times 63 = 378$।
খুব সহজেই মিলে গেলো! তাই সঠিক উত্তর ১২।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
সমান্তর ধারার অংকগুলো সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে ধারার প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর বের করে নিতে হয়।
- প্রথম পদ ($a$) = $4$
- সাধারণ অন্তর ($d$) = দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = $9 - 4 = 5$
- ধরি, ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$) = $378$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো: $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$
এখন এই সূত্রে মানগুলো বসিয়ে দিই:
$378 = \frac{n}{2} \{2 \times 4 + (n-1)5\}$
$378 \times 2 = n \{8 + 5n - 5\}$
$756 = n(5n + 3)$
$5n^2 + 3n - 756 = 0$
এখন এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Middle term) করতে হবে।
$5n^2 + 63n - 60n - 756 = 0$
$n(5n + 63) - 12(5n + 63) = 0$
$(5n + 63)(n - 12) = 0$
এখান থেকে আমরা দুটি মান পাই, $n = 12$ অথবা $5n + 63 = 0 \Rightarrow n = -\frac{63}{5}$।
যেহেতু পদের সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক (negative) বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = 12$ হবে সঠিক উত্তর।
অর্থাৎ, ধারাটির ১২টি পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে।
মজার কৌশল (Option Test):
পরীক্ষার হলে এতো বড় সমীকরণ সমাধান না করে আমরা সরাসরি অপশন থেকেও উত্তর বের করতে পারি।
যদি অপশন ১ থেকে $n = 12$ ধরি, তবে সমষ্টি হবে: $\frac{12}{2} \{2 \times 4 + (12-1) \times 5\} = 6 \times (8 + 55) = 6 \times 63 = 378$।
খুব সহজেই মিলে গেলো! তাই সঠিক উত্তর ১২।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions