যদি $9x^{2} - 15x + 1 = 0$ হয়, তবে $27x^{3} + \frac{1}{27x^{3}}$ এর মান কত ?

আমাদের মান বের করতে হবে: $27x^3 + \frac{1}{27x^3}$ এর।

একটু লক্ষ্য করলেই বুঝতে পারবে, $27x^3$ কে আমরা $(3x)^3$ হিসেবে লিখতে পারি। তাই আমাদের প্রথম কাজ হবে দেওয়া থাকা সমীকরণ থেকে $3x + \frac{1}{3x}$ এর একটি মান বের করে নেওয়া।

- প্রথমে, দেওয়া আছে:
$9x^2 - 15x + 1 = 0$

- এখন, সমীকরণের উভয় পক্ষের প্রতিটি পদকে $3x$ দিয়ে ভাগ করি:
$\frac{9x^2}{3x} - \frac{15x}{3x} + \frac{1}{3x} = 0$

- কাটাকাটি করলে আমরা পাই:
$3x - 5 + \frac{1}{3x} = 0$

- এবার $-5$ কে সমানের ডানদিকে পাঠিয়ে দিই:
$3x + \frac{1}{3x} = 5$

এবার আমরা মূল রাশির মান বের করবো। বীজগণিতের সূত্র থেকে আমরা জানি, $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$

- প্রদত্ত রাশি:
$27x^3 + \frac{1}{27x^3}$
$= (3x)^3 + (\frac{1}{3x})^3$

- এখানে $a = 3x$ এবং $b = \frac{1}{3x}$ ধরে সূত্রটি প্রয়োগ করি:
$= (3x + \frac{1}{3x})^3 - 3 \cdot 3x \cdot \frac{1}{3x} \cdot (3x + \frac{1}{3x})$

- ওপরের সমীকরণে $3x$ এবং নিচের $3x$ কাটা যায় এবং $3x + \frac{1}{3x}$ এর মান $5$ বসিয়ে পাই:
$= (5)^3 - 3 \cdot 1 \cdot 5$
$= 125 - 15$
$= 110$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হবে 110।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।