log₁₀(x + 6) - log₁₀(x + 2) = logx হলে, x এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
ধাপ ১: লগারিদমের বিয়োগের সূত্র প্রয়োগ
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions