x + 3y + 5 = 0 এবং mx + y + 6 = 0 রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে m এর মান কত?

দেওয়া আছে,
১ম সরলরেখা: x + 3y + 5 = 0 .............. (i)

২য় সরলরেখা: mx + y + 6 = 0 ............. (ii)

আমরা জানি, $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ রেখার ঢাল, $m_{1} = -\frac{a_{1}}{b_{1}}$
অনুরূপভাবে, $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ রেখার ঢাল, $m_{2} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$

এখন, (i) নং রেখা থেকে পাই,
ঢাল, $m_{1} = -\frac{x-এর সহগ}{y-এর সহগ} = -\frac{1}{3}$

আবার, (ii) নং রেখা থেকে পাই,
ঢাল, $m_{2} = -\frac{x-এর সহগ}{y-এর সহগ} = -\frac{m}{1} = -m$

যেহেতু রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, তাই তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল – 1 হবে।
শর্তমতে,
$m_{1} \times m_{2} = - 1$

বা, $(-\frac{1}{3}) \times (-m) = - 1$

বা, $\frac{m}{3} = - 1$

বা, $m = - 3$ [আড়গুণন করে]

$\therefore$ নির্ণেয় মান – 3.

শর্টকাট টেকনিক:
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ এবং $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো:
$x$-এর সহগদ্বয়ের গুণফল + $y$-এর সহগদ্বয়ের গুণফল = 0
অর্থাৎ, $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$
এখানে,
$a_{1} = 1, b_{1} = 3$
$a_{2} = m, b_{2} = 1$

সুতরাং,
$(1 \times m) + (3 \times 1) = 0$
বা, $m + 3 = 0$
বা, $m = - 3$