আমাদের কাছে মোট ৫ জন ব্যক্তি রয়েছে: P, Q, R, S, এবং T। তারা পাশাপাশি একটি সারিতে বসে আছে। প্রশ্ন অনুযায়ী আমাদের তাদের অবস্থান নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: মোট ৫টি স্থান কল্পনা করি। _ _ _ _ _ (১ ২ ৩ ৪ ৫)
ধাপ ২: প্রশ্ন অনুযায়ী, T সর্বডানে বসে আছে। অর্থাৎ, ৫ম স্থানে T বসবে। _ _ _ _ T (১ ২ ৩ ৪ ৫)
ধাপ ৩: S এর অবস্থান বাম থেকে দ্বিতীয়। অর্থাৎ, ২য় স্থানে S বসবে। _ S _ _ T (১ ২ ৩ ৪ ৫)
ধাপ ৪: P এর অবস্থান R এবং S এর মাঝখানে। যেহেতু S ২য় স্থানে আছে, তাই P এবং R অবশ্যই ৩য় বা ৪র্থ স্থানে থাকবে। যেহেতু P মাঝে আছে, তাই P ৩য় স্থানে বসবে এবং R ৪র্থ স্থানে বসবে (কারণ S, P, R এই ক্রমে সাজালে P মাঝে থাকে)। _ SPRT (১ ২ ৩ ৪ ৫)
ধাপ ৫: এখন শুধুমাত্র ১টি স্থান (১ম স্থান) এবং ১ জন ব্যক্তি (Q) বাকি আছে। সুতরাং, Q সর্ববামে অর্থাৎ ১ম স্থানে বসবে। QSPRT (১ ২ ৩ ৪ ৫)
চূড়ান্ত সজ্জা: Q - S - P - R - T
এখানে দেখা যাচ্ছে, ৫টি আসনের মধ্যে ৩য় আসনটি হলো একদম মাঝখানের আসন। আর ৩য় স্থানে বসে আছে P। অতএব, একদম মাঝখানে P বসে আছে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য): সরাসরি ৫টি দাগ দিন: _ _ _ _ _ ১. সর্বডানে T: _ _ _ _ T ২. বাম থেকে দ্বিতীয় S: _ S _ _ T ৩. P হলো S ও R এর মাঝে: যেহেতু S এবং T এর মাঝে দুটি জায়গা খালি আছে এবং P তাদের একজন (S ও R) এর ও মাঝখানে, তাই ক্রমটি হবে: S - P - R। ৪. তাহলে মাঝের জায়গাটি পূরণ হলো: _ S P R T ৫. মাঝখানের জনকে খুঁজতে বলা হয়েছে। ৫ জনের মাঝে ৩ নম্বর ব্যক্তিটি মাঝখানে থাকে। আমাদের ৩ নম্বর ব্যক্তিটি হলো P।
প্রদত্ত ছবিটি ভাঁজ করে একটি ঘনক (Cube) তৈরি করলে কোন পৃষ্ঠের বিপরীতে কোনটি থাকবে, তা বের করার একটি সহজ নিয়ম আছে। একটি ছেড়ে আরেকটি ঘর সাধারণত একে অপরের বিপরীতে থাকে।
চিত্র বিশ্লেষণ: ছবিতে থাকা ডাইসের নেট (Net) অনুযায়ী জোড়াগুলো নিচে দেওয়া হলো: - ৬টি বিন্দু এবং ৩টি বিন্দু একে অপরের বিপরীতে থাকবে (একটি ঘর বাদ দিয়ে)। - ১টি বিন্দু এবং ২টি বিন্দু একে অপরের বিপরীতে থাকবে (একটি ঘর বাদ দিয়ে)। - বাকি থাকা দুটি পৃষ্ঠ অর্থাৎ ৪টি বিন্দু এবং ৫টি বিন্দু একে অপরের বিপরীতে থাকবে।
সমাধান: প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে: "তিনটি বিন্দু বিশিষ্ট পৃষ্ঠের বিপরীতে কতটি বিন্দু থাকে?" উপরের বিশ্লেষণ অনুযায়ী: ৩টি বিন্দুর ঠিক এক ঘর পরে ৬টি বিন্দু অবস্থিত। তাই, ৩টি বিন্দু বিশিষ্ট পৃষ্ঠের বিপরীতে ৬টি বিন্দু থাকবে। শর্টকাট টেকনিক: পরীক্ষার হলে সহজে মনে রাখার উপায়: লম্বা লাইনে থাকা ঘরগুলোর ক্ষেত্রে "$1^{st}$ ঘর এবং $3^{rd}$ ঘর" একে অপরের বিপরীত এবং "$2^{nd}$ ঘর এবং $4^{th}$ ঘর" একে অপরের বিপরীত হয়। বাকি যে দুটি ঘর দুই পাশে থাকে, তারা একে অপরের বিপরীত।
সুতরাং, প্রদত্ত প্রশ্নের সঠিক উত্তর অনুযায়ী ৩ বিন্দু এবং ৬ বিন্দু একে অপরের একান্তর অবস্থানে থাকার কারণে, ৩টি বিন্দু বিশিষ্ট পৃষ্ঠের বিপরীতে ৬টি বিন্দু থাকবে।
আমরা জানি, ১ এর চেয়ে বড় যে সব সংখ্যার ১ এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বলে। পক্ষান্তরে, যে সব সংখ্যার ১ এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক আছে, তাদেরকে যৌগিক সংখ্যা বলে অর্থাৎ সেগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়।
প্রদত্ত অপশনগুলো যাচাই করি: ১) ৩১: ৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা, কারণ ৩১ কে ১ এবং ৩১ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না। ২) ১১৭: ১১৭ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ১ + ৭ = ৯। যেহেতু ৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ১১৭ সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য। ১১৭ ÷ ৩ = ৩৯ ১১৭ ÷ ৯ = ১৩ ১১৭ ÷ ১৩ = ৯ ১১৭ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৯, ১৩, ৩৯, ১১৭। যেহেতু ১ এবং ১১৭ ছাড়াও এর অন্য গুণনীয়ক রয়েছে, তাই ১১৭ মৌলিক সংখ্যা নয়।
৩) ৬১: ৬১ একটি মৌলিক সংখ্যা, কারণ ৬১ কে ১ এবং ৬১ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না। ৪) ৬৪১: ৬৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো ১১৭।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য): মৌলিক সংখ্যা নয় (অর্থাৎ যৌগিক সংখ্যা) বের করার জন্য আমরা দ্রুত বিভাজ্যতা পরীক্ষা করব। ১. জোড় সংখ্যা কিনা? কোনোটিই জোড় নয়। ২. ৩ দিয়ে বিভাজ্য কিনা? সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে ভাগ গেলে সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য। * ৩১: যোগফল ৩ + ১ = ৪ (৩ দিয়ে ভাগ যায় না) * ১১৭: যোগফল ১ + ১ + ৭ = ৯ (৯ কে ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ১১৭ ও ৩ দিয়ে বিভাজ্য)। যেহেতু ১১৭ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না। বাকিগুলো চেক করার প্রয়োজন নেই।
শর্টকাট টেকনিক: অপশন টেস্ট করে খুব সহজে উত্তর বের করা সম্ভব। অপশন (2) ২০ হলে, সংখ্যাটির দ্বিগুণ = $20 \times 2 = 40$ সংখ্যাটির অর্ধেক = $20 \div 2 = 10$ পার্থক্য = $40 - 10 = 30$ যেহেতু প্রশ্নের শর্তের সাথে মিলে গেছে, তাই সঠিক উত্তর ২০।
বিস্তারিত ব্যাখ্যা: চিত্রের সংখ্যাগুলোর বিন্যাস এবং সম্পর্কটি ভালোভাবে লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিটি সারির (row) সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক সম্পর্ক রয়েছে।
ধরি, প্রতিটি সারির তিনটি সংখ্যা হলো যথাক্রমে $x$, $y$ এবং $z$। সাধারণত এই ধরনের ছকে প্রথম দুটি সংখ্যার গুণফলকে তৃতীয় সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে অথবা প্রথম দুটি সংখ্যার যোগ-বিয়োগের মাধ্যমে তৃতীয় সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
তবে এখানে সম্পর্কটি হলো: (প্রথম সংখ্যা + দ্বিতীয় সংখ্যা) / ২ = তৃতীয় সংখ্যা অথবা সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণয়। অথবা, প্রথম সংখ্যা + তৃতীয় সংখ্যা = মাঝের সংখ্যা। (চিত্রটি না থাকায় ধরে নিচ্ছি সাধারণ প্যাটার্ন অনুযায়ী)।
কিন্তু যেহেতু সঠিক উত্তর '৫' দেওয়া আছে, এবং সাধারণ এই ধরণের প্রশ্নে যে প্যাটার্নটি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় তা হলো: ধরি, চিত্রটি এরকম একটি ছক: ৩ ৬ ৯ ২ ৫ ? ৮ ১২ ২০... (উদাহরণস্বরূপ)
সাধারণত এই ধরনের অঙ্কে, প্রথম কলামের সংখ্যা + দ্বিতীয় কলামের সংখ্যা = তৃতীয় সংখ্যা অথবা অন্য কোনো গানিতিক অপারেশন থাকে।
ধরা যাক, প্যাটার্নটি হলো: ১ম সংখ্যা + ৩য় সংখ্যা = ২য় সংখ্যা $\times$ ২ অথবা, (১ম সংখ্যা + ৩য় সংখ্যা) / ২ = ২য় সংখ্যা (গড় মান)
প্রশ্নের সঠিক উত্তর অনুযায়ী (৫), একটি সম্ভাব্য লজিক হতে পারে: ধরি সারি বা কলামের সংখ্যাগুলোর যোগফল বা বিয়োগফলের সম্পর্ক। যদি কোনো নির্দিষ্ট চিত্রের সাপেক্ষে চিন্তা করি যেখানে মাঝখানের সংখ্যাটি বের করতে হবে।
উদাহরণ হিসেবে যদি সিরিজটি এমন হয়: ৪ ৯ ৬ ৮ ৫ ৩ ৭ ? ৯
এখানে লজিকটি হতে পারে কলাম বা রো বরাবর যোগফল সমান হওয়া। অথবা আড়াআড়ি গুণফল।
সঠিক লজিক (সম্ভাব্য চিত্রের ভিত্তিতে): সাধারণত এই ধরনের বক্সে সংখ্যাগুলো এমনভাবে সাজানো থাকে যেখানে: ২য় সংখ্যা = (১ম সংখ্যা + ৩য় সংখ্যা) ÷ ২ অথবা, ২য় সংখ্যা = (১ম সংখ্যা + ৩য় সংখ্যা) - নির্দিষ্ট মান
যেহেতু চিত্রটি দেখা যাচ্ছে না, কিন্তু উত্তর ৫। তাই ৫ কে কেন্দ্র করে একটি সাধারণ লজিক হলো গড় নির্ণয় বা সমান্তর ধারা।
ধরি সংখ্যাগুলো হলো: ৩, ৫, ৭ এখানে, ৩ + ৭ = ১০ ১০ ÷ ২ = ৫
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ৫।
শর্টকাট টেকনিক: পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য সংখ্যাগুলোর দিকে তাকিয়ে দেখবেন কোন সাধারণ যোগ, বিয়োগ বা গুণফলের প্যাটার্ন মিলছে কি না। ১. পাশাপাশি সংখ্যাগুলোর ব্যবধান সমান কি না (যেমন: ২, ৪, ৬ - এখানে ব্যবধান ২)। ২. প্রথম ও শেষ সংখ্যার যোগফল মাঝের সংখ্যার দ্বিগুণ কি না।
যদি দেখেন সিরিজটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) মেইনটেইন করছে, তবে সরাসরি মাঝের সংখ্যাটি হবে দুই পাশের সংখ্যার গড়। অর্থাৎ, Missing Number = $\frac{\text{1st Number} + \text{3rd Number}}{2}$
এই ছবিতে মোট ত্রিভুজের সংখ্যা বের করতে হলে ছোট-বড় সবগুলোকে আলাদাভাবে দেখতে হবে। ছোট একক ত্রিভুজ: ছবির ভেতরে ছোট ছোট ৫টি ত্রিভুজ সরাসরি দেখা যাচ্ছে। মাঝারি ত্রিভুজ: দুটি ছোট ত্রিভুজ মিলে গঠিত আরও কিছু ত্রিভুজ আছে। বাম পাশের বড় অংশ এবং ডান পাশের কর্ণ বরাবর অংশগুলো মেলালে আরও ৪টি ত্রিভুজ পাওয়া যায়। বড় ত্রিভুজ: পুরো আয়তক্ষেত্রের ভেতরের রেখাগুলো দিয়ে বড় আকারে আরও ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে।
এখানে, ১ম পদ = ৩ = ৩১ ২য় পদ = ৯ = ৩ × ৩ = ৩২ ৩য় পদ = ২৭ = ৩ × ৩ × ৩ = ৩৩ ৪র্থ পদ = ৮১ = ৩ × ৩ × ৩ × ৩ = ৩৪ লক্ষ করলে দেখা যায়, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার সাধারণ অনুপাত ৩। অর্থাৎ প্রতিবার পূর্ববর্তী পদকে ৩ দ্বারা গুণ করে পরবর্তী পদ পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী পদ বা ৫ম পদ হবে = ৮১ × ৩ = ২৪৩ অথবা, সূচকের নিয়ম অনুযায়ী ৫ম পদ হবে = ৩৫ = ২৪৩।
শর্টকাট টেকনিক: ধারাটি লক্ষ করুন: ৩ × ৩ = ৯ ৯ × ৩ = ২৭ ২৭ × ৩ = ৮১ প্রতিবার ৩ গুণ করে বাড়ছে। তাই পরের সংখ্যাটি হবে: ৮১ × ৩ = ২৪৩।
উক্তি ১: আজ বৃষ্টি না হলে আমি বাড়ি যাবো। উক্তি ২: আজ আমি বাড়ি যাইনি।
এখানে, উক্তি ১-এ একটি শর্ত দেওয়া আছে। শর্তটি হলো- "যদি বৃষ্টি না হয়, তবে ফলাফল হবে বাড়ি যাওয়া।" কিন্তু উক্তি ২-এ বলা হয়েছে, "আমি বাড়ি যাইনি"।
লজিক বা যুক্তির নিয়ম অনুসারে, যদি একটি শর্ত (Condition) পূর্ণ হলে একটি নির্দিষ্ট ফলাফল (Result) ঘটে, তবে সেই ফলাফল না ঘটার অর্থ হলো শর্তটি পূর্ণ হয়নি। একে বলা হয় Modus Tollens বা বিপরীত শর্ত।
ধাপে ধাপে চিন্তা করি: ১. শর্ত: বৃষ্টি না হওয়া $\rightarrow$ বাড়ি যাওয়া। ২. ঘটনা: বাড়ি যাওয়া হয়নি। ৩. সিদ্ধান্ত: যেহেতু বাড়ি যাওয়া হয়নি, তার মানে 'বৃষ্টি না হওয়া'র শর্তটি পূরণ হয়নি। অর্থাৎ, বৃষ্টি না হওয়ার উল্টো ঘটনাটি ঘটেছে। ৪. 'বৃষ্টি না হওয়া'-র উল্টো বা বিপরীত ঘটনা হলো 'বৃষ্টি হওয়া'। সুতরাং, লজিক অনুযায়ী নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে, আজ বৃষ্টি হয়েছে। কারণ বৃষ্টি না হলে তো বাড়ি যাওয়ার ঘটনাটি ঘটত, কিন্তু যেহেতু বাড়ি যাওয়া হয়নি, তাই বৃষ্টি হয়েছে।
শর্টকাট টেকনিক: সহজে মনে রাখার জন্য P $\rightarrow$ Q সূত্র ব্যবহার করতে পারেন। এখানে, P = বৃষ্টি না হওয়া Q = বাড়ি যাওয়া
সূত্র মতে: যদি P হয় তবে Q হবে। (P $\rightarrow$ Q) কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে Q হয়নি (Not Q)। লজিকের নিয়ম হলো, যদি Q না হয়, তবে P-ও হয়নি (Not Q $\rightarrow$ Not P)।
P (বৃষ্টি না হওয়া) সত্য না হওয়ার মানে হলো বৃষ্টি হয়েছে। $\therefore$ সিদ্ধান্ত: আজ বৃষ্টি হয়েছে।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
শর্টকাট টেকনিক: কোনো ঘনক বা ঘনবস্তুর বাহুর দৈর্ঘ্য যদি $n$ গুণ করা হয়, তবে তার আয়তন (এবং ওজন) $n^3$ গুণ বৃদ্ধি পায়। এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ ($n = 2$) করা হয়েছে। সুতরাং, নতুন ওজন হবে আগের ওজনের $2^3$ বা $8$ গুণ। ∴ নতুন ওজন = $6 \times (2)^3 = 6 \times 8 = 48$ পাউন্ড।
দেওয়া আছে, দালানটির প্রতিটি তলা সমান উচ্চতার। ব্যক্তি ৩য় তলায় থাকলে, মাটি থেকে উচ্চতা = ৩০ ফুট। এখানে লক্ষণীয় যে, ৩য় তলায় থাকার অর্থ হলো মাটির নিচ থেকে ৩টি তলার উচ্চতা অতিক্রম করা।
প্রশ্নমতে, ৩টি তলার উচ্চতা = ৩০ ফুট $\therefore$ ১টি তলার উচ্চতা = $\frac{৩০}{৩}$ ফুট = ১০ ফুট
যেহেতু দালানের প্রতিটি তলা সমান উচ্চতার এবং ৪র্থ তলায় থাকা মানে মাটির উপর থেকে ৪টি তলার উচ্চতায় অবস্থান করা। $\therefore$ ৪র্থ তলায় থাকলে উচ্চতা হবে = (১০ $\times$ ৪) ফুট = ৪০ ফুট
বিকল্প বা শর্টকাট টেকনিক: ৩য় তলায় উচ্চতা ৩০ ফুট অর্থ্যাৎ, ৩ তলা = ৩০ ফুট $\therefore$ ১ তলা = $\frac{৩০}{৩}$ = ১০ ফুট যেহেতু ৪র্থ তলার উচ্চতা বের করতে হবে, তাই ১ তলার উচ্চতার সাথে ৪ গুণ করলেই উত্তর পাওয়া যাবে। $\therefore$ নির্ণেয় উচ্চতা = ৪ $\times$ ১০ = ৪০ ফুট।
প্রশ্নটিতে একটি উপমা বা Analogy ব্যবহার করা হয়েছে। এখানে সম্পর্কের মূল ভিত্তি হলো ‘কাজের ধরন’ বা ‘অবস্থা’।
- ‘ম্যারাথন’ হলো এক ধরনের ‘দৌড়’। অর্থাৎ, দৌড়ানোর দীর্ঘ প্রক্রিয়াকে ম্যারাথন বলা হয়। এখানে 'ম্যারাথন' একটি বিশেষ কার্যক্রম এবং এর সাধারণ রূপ বা মূল কাজ হলো 'দৌড়'। - একইভাবে, ‘শীতনিদ্রা’ (Hibernation) হলো এক ধরনের ‘ঘুম’। শীতকালে কিছু প্রাণী দীর্ঘ সময় ধরে যে সুপ্ত অবস্থায় থাকে, তাকেই শীতনিদ্রা বলে। অর্থাৎ, শীতনিদ্রার মূল কাজ বা অবস্থাটি হলো 'ঘুম'।
সুতরাং, ম্যারাথনের সাথে যেমন দৌড়ের সম্পর্ক, ঠিক তেমনই শীতনিদ্রার সাথে ঘুমের সম্পর্ক বিদ্যমান।
• ভুল অপশনগুলোর ব্যাখ্যা: - রাত্রি: রাত্রি হলো একটি নির্দিষ্ট সময়, কিন্তু এটি শীতনিদ্রার মূল ক্রিয়া বা কাজ নয়। - শীত: 'শীত' হলো একটি ঋতু বা সময়কাল, যার মধ্যে শীতনিদ্রা ঘটে। কিন্তু শীতনিদ্রা বিষয়টি 'শীত' নয়, বরং ওই সময়ে ঘটা একটি 'ঘুম' জাতীয় প্রক্রিয়া। তাই এটি সঠিক উত্তর নয়। - স্বপ্ন: স্বপ্ন ঘুমের একটি অংশ হতে পারে, কিন্তু শীতনিদ্রা মানেই স্বপ্ন দেখা নয়; এটি মূলত শরীরের বিপাক ক্রিয়া কমিয়ে দীর্ঘস্থায়ী ঘুমের অবস্থা।
আমাদের প্রদত্ত অঙ্কগুলো হলো: ১, ২, ৩, ৪ এবং ৫। মোট অঙ্ক সংখ্যা = ৫টি।
আমাদের গঠন করতে হবে ৩-অঙ্কের জোড় সংখ্যা। যেহেতু সংখ্যাটি জোড় হতে হবে, তাই এর একক স্থানীয় অঙ্কটি অবশ্যই জোড় হতে হবে। প্রদত্ত অঙ্কগুলোর মধ্যে জোড় অঙ্ক আছে ২টি (২ এবং ৪)।
এখন আমরা দুই ধাপে হিসাবটি করতে পারি: ধাপ ১: একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ধারণ একক স্থানে বসানোর জন্য আমাদের হাতে অপশন আছে ২টি (২ অথবা ৪)।
ধাপ ২: শতক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক নির্ধারণ একক স্থানে একটি জোড় অঙ্ক (২ অথবা ৪) বসানোর পর, আমাদের হাতে অবশিষ্ট অঙ্ক থাকে = (৫ - ১) = ৪টি। যেহেতু সংখ্যার পুনরাবৃত্তি হবে না, তাই: * শতক স্থানীয় অঙ্কটি পূরণ করার উপায় = ৪টি। * শতক ও একক স্থানে দুইটি অঙ্ক বসানোর পর, দশক স্থানীয় অঙ্কটি পূরণ করার উপায় অবশিষ্ট অঙ্ক থাকে = ৩টি।
অতএব, মোট গঠনযোগ্য জোড় সংখ্যা = (শতক স্থানের উপায় × দশক স্থানের উপায় × একক স্থানের উপায়) = ৪ × ৩ × ২ = ২৪ সুতরাং, ১, ২, ৩, ৪ ও ৫ ব্যবহার করে মোট ২৪টি ৩-অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত করার জন্য): জোড় সংখ্যা তৈরির শর্ত হলো শেষের ডিজিটটি বা এককের ঘর অবশ্যই জোড় হতে হবে। 1. প্রদত্ত অঙ্কগুলোর মধ্যে জোড় অঙ্ক কয়টি? উত্তর: ২ এবং ৪ (মোট ২টি)। তাই শেষের ঘর পূরণ করার উপায় ২। 2. মোট অঙ্ক ৫টি। শেষের ঘরে ১টি বসে গেলে বাকি থাকে ৪টি। 3. তাই প্রথম ঘর পূরণ করার উপায় ৪। 4. প্রথম ও শেষ ঘর পূরণ হলে বাকি থাকে ৩টি। তাই মাঝের ঘর পূরণ করার উপায় ৩। মোট সংখ্যা = ৪ × ৩ × ২ = ২৪।
আমরা জানি, ৫২টি কার্ডের প্যাকে মোট ৪টি স্যুট থাকে। যথা: ডায়মন্ড (Diamond), হার্ট (Heart), ক্লাব (Club) এবং স্পেড (Spade)।
ধরি, আমরা এমনভাবে কার্ডগুলো নির্বাচন করছি যাতে কোনো স্যুটেরই ৩টি কার্ড না আসে। অর্থাৎ, আমরা চেষ্টা করব প্রতিটি স্যুটের সর্বোচ্চ ২টি করে কার্ড নিতে।
যদি আমরা সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি (Worst Case Scenario) বিবেচনা করি: প্রথম স্যুটের (যেমন: ডায়মন্ডের) ২টি কার্ড নিলাম। দ্বিতীয় স্যুটের (যেমন: হার্টের) ২টি কার্ড নিলাম। তৃতীয় স্যুটের (যেমন: ক্লাবের) ২টি কার্ড নিলাম। চতুর্থ স্যুটের (যেমন: স্পেডের) ২টি কার্ড নিলাম। এই অবস্থায় মোট কার্ড সংখ্যা = ২ + ২ + ২ + ২ = ৮টি।
এখন, আমাদের হাতে ৮টি কার্ড আছে এবং প্রতিটি স্যুটের ঠিক ২টি করে কার্ড আছে। এই অবস্থায় এখনো নিশ্চিতভাবে কোনো স্যুটের ৩টি কার্ড নেই। এখন যদি আমরা আর ১টি কার্ড নির্বাচন করি, তবে সেই কার্ডটি অবশ্যই উক্ত ৪টি স্যুটের যেকোনো একটির হবে। ফলে সেই স্যুটের কার্ড সংখ্যা হয়ে যাবে (২ + ১) = ৩টি সুতরাং, নিশ্চিতভাবে একই স্যুটের কমপক্ষে তিনটি কার্ড পেতে হলে ৯টি কার্ড নির্বাচন করতে হবে। অতএব, নির্ণেয় কার্ড সংখ্যা = (৪ × ২) + ১ = ৮ + ১ = ৯টি।
শর্টকাট টেকনিক: এই ধরনের অঙ্ক Pigeonhole Principle বা পায়রা খোপ নীতি মেনে চলে। সূত্র: (স্যুট সংখ্যা × (প্রয়োজনীয় কার্ড সংখ্যা - ১)) + ১
এখানে, স্যুট সংখ্যা = ৪ প্রয়োজনীয় কার্ড সংখ্যা = ৩ অতএব, কার্ড নির্বাচন করতে হবে = {৪ × (৩ - ১)} + ১ = (৪ × ২) + ১ = ৮ + ১ = ৯টি।
- এলোমেলো বর্ণ সাজিয়ে শব্দ গঠন হলো জট পাকানো বর্ণমালাকে (Jumbled Letters) একটি সঠিক ক্রমে সাজিয়ে অর্থপূর্ণ শব্দ তৈরি করার প্রক্রিয়া। এটি মূলত ইংরেজি শব্দভাণ্ডার (Vocabulary) এবং বানান (Spelling) দক্ষতার পরীক্ষা। - প্রদত্ত বর্ণগুলো হলো: T, Y, H, M, R, H। - এই ৬টি বর্ণ সাজালে যে পরিচিত ইংরেজি শব্দটি পাওয়া যায় তা হলো RHYTHM। - RHYTHM শব্দের বাংলা অর্থ হলো ছন্দ বা তাল।
- প্রশ্নে দেওয়া শর্ত অনুসারে, পরীক্ষাগুলো সোমবার, মঙ্গলবার, বুধবার এবং বৃহস্পতিবার অনুষ্ঠিত হবে। - প্রথম পরীক্ষাটি অর্থাৎ সোমবারের পরীক্ষাটি হলো বায়োলজি। - বাকি দিনগুলো হলো মঙ্গলবার, বুধবার এবং বৃহস্পতিবার। হাতে থাকা বিষয়গুলো হলো ইংরেজি, গণিত ও ফিজিক্স। - শর্তানুসারে, মঙ্গলবার গণিত এবং ফিজিক্স পরীক্ষা হতে পারবে না। তাই মঙ্গলবার ইংরেজি পরীক্ষা অনুষ্ঠিত হবে। - এখন বাকি দিনগুলো হলো বুধবার ও বৃহস্পতিবার এবং বাকি বিষয় হলো গণিত ও ফিজিক্স। - শর্তানুসারে, ফিজিক্স বৃহস্পতিবারে হতে পারবে না। তাহলে বুধবার ফিজিক্স পরীক্ষা অনুষ্ঠিত হবে। - সর্বশেষ বাকি থাকে শুধু গণিত পরীক্ষা এবং বৃহস্পতিবার। সুতরাং, বৃহস্পতিবার গণিত পরীক্ষা অনুষ্ঠিত হবে। - তাই, সঠিক উত্তরটি হবে বৃহস্পতিবার।
দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে ছুঁড়লে মোট ফলাফল (Sample Space) হতে পারে ৪টি। ফলাফলগুলো নিচে দেওয়া হলো: ১. হেড ও হেড (H, H) ২. হেড ও টেল (H, T) ৩. টেল ও হেড (T, H) ৪. টেল ও টেল (T, T) $\therefore$ সমগ্র সম্ভাব্য ঘটনার সংখ্যা $n(S) = 4$
প্রশ্নমতে, আমাদের কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে। এখানে 'কমপক্ষে একটি হেড' বা (at least one Head) এর অর্থ হলো ফলাফলে ১টি হেড বা তার বেশি হেড থাকতে হবে। উপরের ফলাফলগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়, কমপক্ষে একটি হেড আছে এমন ঘটনাগুলো হলো: (H, H), (H, T) এবং (T, H)
$\therefore$ অনুকূল ঘটনার সংখ্যা $n(A) = 3$
আমরা জানি, সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা / সমগ্র সম্ভাব্য ঘটনার সংখ্যা $\therefore P(\text{কমপক্ষে একটি হেড}) = \frac{3}{4}$
সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাবনা ৩/৪।
শর্টকাট টেকনিক: দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে মোট ফলাফল ৪টি। এর মধ্যে কোনো হেড নেই এমন ঘটনা মাত্র ১টি (টেল, টেল)। সুতরাং, কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (কোনো হেড না পাওয়ার সম্ভাবনা) = $1 - \frac{1}{4}$ = $\frac{4 - 1}{4}$ = $\frac{3}{4}$
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
- চীন ও রাশিয়া উভয় দেশই সর্বাধিক ১৪টি দেশের সাথে সীমান্তযুক্ত। - তবে এখানে অপশনগুলোর মধ্যে রাশিয়া উল্লেখ না থাকায় সঠিক উত্তর হবে চীন। - চীনের সীমান্তবর্তী দেশগুলো হলো— উত্তর কোরিয়া, রাশিয়া, মঙ্গোলিয়া, কাজাখস্তান, কিরগিজস্তান, তাজিকিস্তান, আফগানিস্তান, পাকিস্তান, ভারত, নেপাল, ভুটান, মিয়ানমার, লাওস ও ভিয়েতনাম। - তুলনামূলকভাবে ভারতের সাথে মোট ৭টি দেশের স্থলসীমান্ত রয়েছে (বাংলাদেশ, চীন, পাকিস্তান, নেপাল, মিয়ানমার, ভুটান, আফগানিস্তান)। - অন্যদিকে আফগানিস্তান ৬টি এবং মিয়ানমার ৫টি ভিন্ন দেশের সাথে তাদের সীমান্ত ভাগ করেছে।
- নেটো (NATO) হলো উত্তর আটলান্টিক অঞ্চলের দেশগুলোর সম্মিলিত একটি সামরিক জোট। - এর পূর্ণরূপ হলো North Atlantic Treaty Organization। - ১৯৪৯ সালের ৪ এপ্রিল যুক্তরাষ্ট্রের ওয়াশিংটন ডিসিতে ১২টি সদস্য দেশ নিয়ে এই জোট প্রতিষ্ঠিত হয়। - এই জোটের মূল নীতি হলো এর যে কোনো একটি সদস্য রাষ্ট্রের ওপর আক্রমণকে সকল সদস্য রাষ্ট্রের ওপর আক্রমণ হিসেবে গণ্য করা হবে। - জোটটি তার সদস্য দেশগুলোর স্বাধীনতা ও নিরাপত্তা রক্ষার জন্য রাজনৈতিক ও সামরিক উভয় উপায়েই কাজ করে। - বর্তমানে নেটো এর সদরদপ্তর বেলজিয়াম এর ব্রাসেলস-এ অবস্থিত এবং এর সদস্য সংখ্যা ৩২ (২০২৪ সাল পর্যন্ত)।
- তৎকালীন অর্থমন্ত্রী এম. সাইফুর রহমান ১৯৯১ সালের ১ জুলাই সর্বপ্রথম বাংলাদেশে মূল্য সংযোজন কর বা ভ্যাট (VAT) ব্যবস্থা চালু করেন। - ১৯৯১ সালে ভ্যাট আইন প্রণীত হলেও এটি মূলত ১৯৯১-৯২ অর্থবছর থেকে কার্যকর হয়। - এই কর ব্যবস্থার প্রবর্তনের মাধ্যমে আবগারি শুল্ক ও বিক্রয় করের পরিবর্তে একটি আধুনিক কর ব্যবস্থা গড়ে ওঠে। - প্রতি বছর ১০ ডিসেম্বর বাংলাদেশে জাতীয় ভ্যাট দিবস পালিত হয়। - বর্তমানে বাংলাদেশে মূসক আইন, ২০১২ কার্যকর রয়েছে, যা আগের ১৯৯১ সালের আইনটিকে প্রতিস্থাপন করেছে।
- প্রশান্ত মহাসাগরের তীরবর্তী আগ্নেয়গিরি বেষ্টিত অঞ্চলকে ‘রিং অফ ফায়ার’ (Ring of fire) বা আগ্নেয় মেখলা বলা হয়। - এর আকৃতি অনেকটা ঘোড়ার ক্ষুরের ন্যায় এবং এটি প্রশান্ত মহাসাগরীয় অঞ্চল জুড়ে বিস্তৃত। - এই এলাকাটি এশিয়া ও প্রশান্ত মহাসাগরীয় বিভিন্ন দেশের উপকূল এবং আমেরিকা মহাদেশের পশ্চিম উপকূল জুড়ে অবস্থিত। - পৃথিবীর অধিকাংশ জীবন্ত আগ্নেয়গিরি ও ভূমিকম্প প্রবণ এলাকা এই অঞ্চলের অন্তর্গত। - পৃথিবীর প্রায় ৭৫% আগ্নেয়গিরি এই রিং অফ ফায়ারে অবস্থিত। - জাপান, ফিলিপাইন, ইন্দোনেশিয়া, নিউজিল্যান্ড এবং আমেরিকার পশ্চিম উপকূলের দেশগুলো এই অঞ্চলের অন্তর্ভুক্ত।
- ২০২৫ সালের জুলাই মাসে থাইল্যান্ড ও কম্বোডিয়া তাদের সমুদ্রসীমা বিরোধ নিষ্পত্তির লক্ষ্যে মালয়েশিয়ায় বসে একটি যুদ্ধবিরতি ও সমঝোতা চুক্তি স্বাক্ষর করেছে। - এই চুক্তির মূল উদ্দেশ্য হলো থাইল্যান্ড উপসাগরে অবস্থিত বিরোধপূর্ণ 'ওভারল্যাপিং ক্লেইমস এরিয়া' (OCA) নিয়ে দীর্ঘদিনের সংঘাতের অবসান ঘটানো। - ওই এলাকায় বিপুল পরিমাণ তেল ও গ্যাস মজুদ থাকার সম্ভাবনার কারণে দুই দেশের মধ্যে দীর্ঘদিন ধরে উত্তেজনা বিরাজ করছিল। - মালয়েশিয়ায় অনুষ্ঠিত এই দ্বিপাক্ষিক বৈঠকে উভয় দেশের প্রতিনিধিরা শান্তিপূর্ণ আলোচনার মাধ্যমে সম্পদ ভাগাভাগি ও সীমান্ত নির্ধারণে সম্মত হয়েছেন। - এই চুক্তির ফলে দক্ষিণ-পূর্ব এশিয়ায় আঞ্চলিক স্থিতিশীলতা বৃদ্ধি পাবে এবং দুই দেশের মধ্যে বাণিজ্যিক সম্পর্ক আরও সুদৃঢ় হবে বলে আশা করা হচ্ছে।
- গণপ্রজাতন্ত্রী বাংলাদেশের সংবিধান ৪ নভেম্বর ১৯৭২ সালে গণপরিষদ কর্তৃক গৃহীত হয়। - এটি ১৬ ডিসেম্বর ১৯৭২ সাল থেকে কার্যকর করা হয়। - সংবিধান প্রণয়ন কমিটির প্রধান ছিলেন ড. কামাল হোসেন। - এটি বাংলাদেশের সর্বোচ্চ আইন যা হস্তলিখিত ছিল। - বাংলাদেশের সংবিধান এখন পর্যন্ত সর্বমোট ১৭ বার সংশোধিত হয়েছে।
- বাংলাদেশের একমাত্র প্রবাল দ্বীপ হলো সেন্টমার্টিন। - এটি বাংলাদেশের সবচাইতে দক্ষিণে অবস্থিত এবং এর আয়তন প্রায় ৮ বর্গ কিলোমিটার। - স্থানীয়ভাবে এই দ্বীপটিকে নারিকেল জিঞ্জিরা বলা হয় কারণ এখানে প্রচুর নারিকেল গাছ জন্মে। - ১৯০০ সালের দিকে ব্রিটিশ ভূ-জরীপ দল এই দ্বীপটিকে ব্রিটিশ ভারতের অন্তর্ভুক্ত করে সাধু মার্টিন-এর নাম অনুসারে সেন্টমার্টিন নাম দেন। - এই দ্বীপটি সামুদ্রিক কচ্ছপের প্রজনন ক্ষেত্র হিসেবেও পরিচিত।
- ২০২২ সালে ইউক্রেন ও রাশিয়ার মধ্যে যুদ্ধের সূত্রপাত হয় এবং এর পূর্বে রাশিয়া ইউক্রেনের দুটি অঞ্চলকে স্বাধীন বলে স্বীকৃতি দেয়। - এই অঞ্চল দুটির নাম হলো দোনেস্ক এবং লুহানস্ক। - ২১শে ফেব্রুয়ারি ২০২২ সালে রাশিয়ার প্রেসিডেন্ট ভ্লাদিমির পুতিন একটি ডিক্রি জারি করে এই স্বীকৃতি প্রদান করেন। - এই দুটি অঞ্চল ইউক্রেনের পূর্বাঞ্চলে অবস্থিত এবং একত্রে 'দোনবাস' নামেও পরিচিত। - এই স্বীকৃতির ফলে মিনস্ক চুক্তি কার্যত অকার্যকর হয়ে পড়ে এবং পরবর্তীতে ইউক্রেনে রাশিয়ার সামরিক অভিযানের পথ প্রশস্ত হয়।
- মৌলভীবাজার জেলাকে বাংলাদেশের চায়ের রাজধানী বলা হয়ে থাকে, কারণ এ জেলাতেই দেশের সর্বাধিক সংখ্যক চা বাগান রয়েছে। - বাংলাদেশ চা বোর্ডের সর্বশেষ তথ্য অনুযায়ী, সারাদেশে মোট চা বাগানের সংখ্যা ১৬৭টি (ভিন্নমতে ১৬৮টি)। - এর মধ্যে শুধুমাত্র মৌলভীবাজার জেলাতেই ৯২টি (ভিন্নমতে ৯১টি) চা বাগান অবস্থিত। - দ্বিতীয় অবস্থানে রয়েছে হবিগঞ্জ জেলা এবং সেখানে চা বাগানের সংখ্যা ২৫টি। - বাংলাদেশের প্রথম বাণিজ্যিক চা চাষ শুরু হয় ১৮৫৪ সালে সিলেটের মালনীছড়া চা বাগানে। - চায়ের জন্য বিখ্যাত শ্রীমঙ্গল উপজেলা এই মৌলভীবাজার জেলার অধীনেই অবস্থিত।
- বাংলাদেশ ব্যাংক প্রতিষ্ঠিত হয় ১৬ ডিসেম্বর, ১৯৭২ সালে। - এই ব্যাংক প্রতিষ্ঠা করা হয় রাষ্ট্রপতির ১৯৭২ সালের ১২৭ নং আদেশ অনুযায়ী, যা ‘বাংলাদেশ ব্যাংক অর্ডার ১৯৭২’ নামে পরিচিত। - প্রতিষ্ঠার পর থেকে এটি বাংলাদেশের কেন্দ্রীয় ব্যাংক হিসেবে তাদের কার্যক্রম শুরু করে। - তবে আশ্চর্যের বিষয় হলো, এর কার্যকারিতা বা 'Effective Date' ধরা হয় ১৬ ডিসেম্বর, ১৯৭১ সাল থেকে। - তাই অনেক সময় প্রতিষ্ঠা সাল নিয়ে বিভ্রান্তি তৈরি হলে এর কার্যকারিতার তারিখ ১৯৭১ সালকে বিবেচনা করা হয়। - বাংলাদেশ ব্যাংকের পূর্বসূরি ছিল ‘স্টেট ব্যাংক অব পাকিস্তান’-এর ঢাকা শাখা।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
- GPT এর পূর্ণরূপ হলো Generative Pre-trained Transformer। - এটি মূলত এক ধরনের লার্জ ল্যাঙ্গুয়েজ মডেল (LLM) যা কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা বা AI ব্যবহার করে মানুষের মতো টেক্সট তৈরি করতে সক্ষম। - এই প্রযুক্তির প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো এটি আগে থেকেই বিশাল পরিমাণ তথ্য দিয়ে প্রশিক্ষিত (Pre-trained) থাকে এবং সেই জ্ঞান ব্যবহার করে নতুন তথ্য বা উত্তর তৈরি (Generative) করতে পারে। - এই মডেলটি ট্রান্সফরমার (Transformer) আর্কিটেকচারের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যা ডিপ লার্নিংয়ের একটি শক্তিশালী পদ্ধতি। - মার্কিন গবেষণা প্রতিষ্ঠান OpenAI এই প্রযুক্তিটি তৈরি করেছে, যা বর্তমানের জনপ্রিয় চ্যাটবট ChatGPT-এর মূল ভিত্তি।
✅চাকরি পরীক্ষার আপডেট ============================= ১। ২৩ তারিখের অফিসার জেনারেল পিছিয়ে ৩১ তারিখ বিকাল হবে ৩-৪টা।
✅ ১৯তারিখ থেকে ৫০তম বিসিএস ফুল মডলে টেস্ট ১০টি নেওয়া হবে।
✅প্রাইমারী, নিবন্ধন বা ১১তম-২০তম গ্রেডের যেকোনো চাকরি জন্য প্রশ্ন ব্যাংক লেগে থেকে শেষ করুন। অ্যাপ এর প্রশ্ন ব্যাংক থেকে ১০০% কমন আসবে। বাকি চাকরি পরীক্ষা জন্য ৭০%-৮০% কমন আসবে। আপনার চর্চার সময় আপনার ভুল প্রশ্ন, বুকমার্ক প্রশ্ন সব ডাটাবেজে জমা থাকে। মনে করুন বাংলা সাহিত্য ৪০০০ প্রশ্ন আছে, আপনি একবার ভালো করে পড়বেন, এর মধ্যে দেখবেন ৪০% প্রশ্ন আপনার জানা, যেগুলো কখনও ভুল হবে না, বাকি আছে ৬০%, এই প্রশ্নগুলো আলাদা বাটনে জমা হয়, যেগুলো আপনি ভুল করছেন, এখন এইগুলো ভালো করে রিভিশন দিন। এতে সহজে কম সময় প্রস্তুতি শেষ হবে। যারা একেবারে নতুন তারা জব শুলুশন্স বাটন দিয়ে শুরু করতে পারেন।
✅ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (রুটিনের জন্য পিডিএফ বাটন দেখুন) - পরীক্ষা শুরুঃ ১০ নভেম্বর। - মোট পরীক্ষাঃ ১২৮টি, - টপিক ভিত্তিকঃ ১১২টি, - রিভিশন পরীক্ষাঃ ২২টি, - Vocabulary রিভিশনঃ ৩বার
অ্যাপ এর হোম screen -এ পিডিএফ বাটন ক্লিক করুন, এখান থেকে রুটিন ডাউনলোড করতে পারবেন। রুটিনের তারিখ অনুযায়ী পরীক্ষা রাত ১২ থেকে ২৪ ঘণ্টার মধ্যে যেকোন সময় দিতে পারবেন, ফলাফল সাথে সাথে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হয়। missed পরীক্ষাগুলো আর্কাইভ থেকে দিতে পারবেন, তবে মেরিট লিস্ট আসবে না, মেরিট লিস্টে থাকতে হলে রুটিন অনুযায়ী নির্দিষ্ট তারিখে দিতে হবে। আর্কাইভ থেকে পরীক্ষা দিতে হলে ভিজিট করুনঃ অ্যাপ এর হোম স্ক্রীনে 'পরীক্ষার সেকশন' বাটনে ক্লিক করুন -> বিসিএস বাটন -> [ফ্রি কোর্স] ৫০তম বিসিএস প্রিলি ২২০ দিনের সেকশনের All Exam বাটন ক্লিক করুন -> এখান Upcoming, Expired ট্যাব পাবেন।
✅ প্রধান শিক্ষক প্রস্তুতি - লেকচারশীট ভিত্তিকঃ রুটিন আপলোড করা হয়েছে। পরীক্ষা শুরুঃ ১৫ আগস্ট। মোট পরীক্ষাঃ ৫৮টি
✅ আপকামিং রুটিনঃ
- ১০০ দিনের বিসিএস বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি। - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।
