1+12+14+....... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . . . . . . . .$
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 1$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$
যেহেতু সাধারণ অনুপাত $|r| < 1$ অর্থাৎ $\left| \frac{1}{2} \right| < 1$, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।
আমরা জানি,
অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি, $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$
মান বসিয়ে পাই,
$S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$
$= \frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$
$= \frac{1}{\frac{1}{2}}$
$= 1 \times 2$
$= 2$
$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = 2
বিকল্প টেকনিক (Short Cut):
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদটি যদি ঠিক তার পরবর্তী পদের দ্বিগুণ হয় (যেমন: ১ এর অর্ধেক ১/২, ১/২ এর অর্ধেক ১/৪), তবে পুরো ধারাটির সমষ্টি হবে প্রথম পদের দ্বিগুণ।
এখানে প্রথম পদ $1$, তাই সমষ্টি হবে $1 \times 2 = 2$।
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 1$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$
যেহেতু সাধারণ অনুপাত $|r| < 1$ অর্থাৎ $\left| \frac{1}{2} \right| < 1$, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।
আমরা জানি,
অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি, $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$
মান বসিয়ে পাই,
$S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$
$= \frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$
$= \frac{1}{\frac{1}{2}}$
$= 1 \times 2$
$= 2$
$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = 2
বিকল্প টেকনিক (Short Cut):
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদটি যদি ঠিক তার পরবর্তী পদের দ্বিগুণ হয় (যেমন: ১ এর অর্ধেক ১/২, ১/২ এর অর্ধেক ১/৪), তবে পুরো ধারাটির সমষ্টি হবে প্রথম পদের দ্বিগুণ।
এখানে প্রথম পদ $1$, তাই সমষ্টি হবে $1 \times 2 = 2$।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions