a4+ a2b2+b4= 3 এবং a2+ ab+b2=3 হলে 2(a2+ b2) এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
দেওয়া আছে,
a4 + a2b2 + b4 = 3 ............... (i)
a2 + ab + b2 = 3 ................... (ii)
আমরা জানি,
a4 + a2b2 + b4
= (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 [বর্গ পূর্ণ করার জন্য a2b2 যোগ করে আবার বিয়োগ করলাম]
= (a2 + b2)2 - (ab)2
= (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) [∵ x2 - y2 = (x + y)(x - y) সূত্রানুসারে]
= (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
এখন (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
(a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 3
বা, 3(a2 - ab + b2) = 3 [(ii) হতে মান বসিয়ে]
বা, a2 - ab + b2 = 3/3
বা, a2 - ab + b2 = 1 ................... (iii)
এখন, (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
a2 + ab + b2 = 3
a2 - ab + b2 = 1
------------------------
2a2 + 2b2 = 4
বা, 2(a2 + b2) = 4
সুতরাং, নির্ণেয় মান 4।
শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষার হলের জন্য):
মনে রাখবেন, একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগণিতীয় অভেদ হলো:
x4 + x2y2 + y4 = (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2)
১. এখানে বড় রাশিটির মান 3 এবং একটি উৎপাদকের মান 3।
২. সুতরাং অপর উৎপাদকটি (a2 - ab + b2) হবে = 3 ÷ 3 = 1
৩. প্রশ্নে 2(a2 + b2) চেয়েছে, যা মূলত দুটি সমীকরণের যোগফল।
৪. তাই সরাসরি দুটি উৎপাদকের মান যোগ করে দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে।
৫. উত্তর = 3 + 1 = 4
a4 + a2b2 + b4 = 3 ............... (i)
a2 + ab + b2 = 3 ................... (ii)
আমরা জানি,
a4 + a2b2 + b4
= (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 [বর্গ পূর্ণ করার জন্য a2b2 যোগ করে আবার বিয়োগ করলাম]
= (a2 + b2)2 - (ab)2
= (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) [∵ x2 - y2 = (x + y)(x - y) সূত্রানুসারে]
= (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
এখন (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
(a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 3
বা, 3(a2 - ab + b2) = 3 [(ii) হতে মান বসিয়ে]
বা, a2 - ab + b2 = 3/3
বা, a2 - ab + b2 = 1 ................... (iii)
এখন, (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
a2 + ab + b2 = 3
a2 - ab + b2 = 1
------------------------
2a2 + 2b2 = 4
বা, 2(a2 + b2) = 4
সুতরাং, নির্ণেয় মান 4।
শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষার হলের জন্য):
মনে রাখবেন, একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগণিতীয় অভেদ হলো:
x4 + x2y2 + y4 = (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2)
১. এখানে বড় রাশিটির মান 3 এবং একটি উৎপাদকের মান 3।
২. সুতরাং অপর উৎপাদকটি (a2 - ab + b2) হবে = 3 ÷ 3 = 1
৩. প্রশ্নে 2(a2 + b2) চেয়েছে, যা মূলত দুটি সমীকরণের যোগফল।
৪. তাই সরাসরি দুটি উৎপাদকের মান যোগ করে দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে।
৫. উত্তর = 3 + 1 = 4
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions