a⁴+ a²b2+b⁴= 3 এবং a²+ ab+b²=3 হলে 2(a²+ b²) এর মান কত?

দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 ............... (i)
a² + ab + b² = 3 ................... (ii)

আমরা জানি,
a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² [বর্গ পূর্ণ করার জন্য a²b² যোগ করে আবার বিয়োগ করলাম]
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) [∵ x² - y² = (x + y)(x - y) সূত্রানুসারে]
= (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

এখন (i) নং সমীকরণ হতে পাই,

(a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3
বা, 3(a² - ab + b²) = 3 [(ii) হতে মান বসিয়ে]
বা, a² - ab + b² = 3/3
বা, a² - ab + b² = 1 ................... (iii)

এখন, (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
a² + ab + b² = 3
a² - ab + b² = 1
------------------------
2a² + 2b² = 4
বা, 2(a² + b²) = 4
সুতরাং, নির্ণেয় মান 4।

শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষার হলের জন্য):
মনে রাখবেন, একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগণিতীয় অভেদ হলো:
x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² + xy + y²)(x² - xy + y²)
১. এখানে বড় রাশিটির মান 3 এবং একটি উৎপাদকের মান 3।
২. সুতরাং অপর উৎপাদকটি (a² - ab + b²) হবে = 3 ÷ 3 = 1
৩. প্রশ্নে 2(a² + b²) চেয়েছে, যা মূলত দুটি সমীকরণের যোগফল।
৪. তাই সরাসরি দুটি উৎপাদকের মান যোগ করে দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে।
৫. উত্তর = 3 + 1 = 4