ABCD বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে নীচের কোনটি সত্য?
Solution
Correct Answer: Option C
একটি বৃত্তের দুটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, একটি জ্যা-এর অংশগুলো অপর জ্যা-এর অনুরূপ অংশগুলোর সমান হয়।
চলুন এটি সহজে এবং ধাপে ধাপে বুঝে নেওয়া যাক:
- মনে করি, একটি বৃত্তের কেন্দ্র \( O \) এবং বৃত্তের দুটি সমান জ্যা হলো \( AB \) এবং \( CD \)।
- জ্যা দুটি পরস্পরকে \( P \) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
- এখন বৃত্তের কেন্দ্র \( O \) থেকে \( AB \) এবং \( CD \) জ্যা দুটির উপর যথাক্রমে \( OM \) এবং \( ON \) লম্ব আঁকি।
লম্ব আঁকার ফলে আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য পাই:
- কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে (সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
অতএব, \( AM = MB = \frac{1}{2} AB \) এবং \( CN = ND = \frac{1}{2} CD \)।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান (\( AB = CD \)), সেহেতু তাদের অর্ধেক অংশগুলোও সমান হবে। অর্থাৎ, \( MB = ND \) এবং \( AM = CN \)।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে থাকে।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান, তাই কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্বও সমান হবে। অর্থাৎ, \( OM = ON \)।
এখন, \( \Delta OPM \) এবং \( \Delta OPN \) সমকোণী ত্রিভুজ দুটির মধ্যে তুলনা করি:
- অতিভুজ \( OP \) উভয়ের সাধারণ বাহু।
- লম্ব দূরত্ব \( OM = ON \)।
- সুতরাং, ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অর্থাৎ, \( \Delta OPM \cong \Delta OPN \)।
ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হওয়ায় এদের অন্য বাহু দুটিও সমান হবে। অর্থাৎ, \( PM = PN \)।
এবার জ্যা-এর ছেদ অংশগুলো খেয়াল করি:
- জ্যা \( AB \)-এর ছোট অংশটি হলো \( PB \)। চিত্রানুযায়ী, \( PB = MB - PM \)।
- জ্যা \( CD \)-এর ছোট অংশটি হলো \( PD \)। চিত্রানুযায়ী, \( PD = ND - PN \)।
যেহেতু আমরা আগেই পেয়েছি \( MB = ND \) এবং \( PM = PN \), তাই স্বভাবতই:
\( MB - PM = ND - PN \)
অর্থাৎ, \( PB = PD \)।
একইভাবে বড় অংশ দুটির ক্ষেত্রেও বলা যায়, \( PA = PC \)। কিন্তু আমাদের অপশনে প্রদত্ত সম্পর্কগুলোর মধ্যে সঠিক এবং যৌক্তিক সম্পর্কটি হলো \( PB = PD \) (অপশন ৩)।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
চলুন এটি সহজে এবং ধাপে ধাপে বুঝে নেওয়া যাক:
- মনে করি, একটি বৃত্তের কেন্দ্র \( O \) এবং বৃত্তের দুটি সমান জ্যা হলো \( AB \) এবং \( CD \)।
- জ্যা দুটি পরস্পরকে \( P \) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
- এখন বৃত্তের কেন্দ্র \( O \) থেকে \( AB \) এবং \( CD \) জ্যা দুটির উপর যথাক্রমে \( OM \) এবং \( ON \) লম্ব আঁকি।
লম্ব আঁকার ফলে আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য পাই:
- কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে (সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
অতএব, \( AM = MB = \frac{1}{2} AB \) এবং \( CN = ND = \frac{1}{2} CD \)।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান (\( AB = CD \)), সেহেতু তাদের অর্ধেক অংশগুলোও সমান হবে। অর্থাৎ, \( MB = ND \) এবং \( AM = CN \)।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে থাকে।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান, তাই কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্বও সমান হবে। অর্থাৎ, \( OM = ON \)।
এখন, \( \Delta OPM \) এবং \( \Delta OPN \) সমকোণী ত্রিভুজ দুটির মধ্যে তুলনা করি:
- অতিভুজ \( OP \) উভয়ের সাধারণ বাহু।
- লম্ব দূরত্ব \( OM = ON \)।
- সুতরাং, ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অর্থাৎ, \( \Delta OPM \cong \Delta OPN \)।
ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হওয়ায় এদের অন্য বাহু দুটিও সমান হবে। অর্থাৎ, \( PM = PN \)।
এবার জ্যা-এর ছেদ অংশগুলো খেয়াল করি:
- জ্যা \( AB \)-এর ছোট অংশটি হলো \( PB \)। চিত্রানুযায়ী, \( PB = MB - PM \)।
- জ্যা \( CD \)-এর ছোট অংশটি হলো \( PD \)। চিত্রানুযায়ী, \( PD = ND - PN \)।
যেহেতু আমরা আগেই পেয়েছি \( MB = ND \) এবং \( PM = PN \), তাই স্বভাবতই:
\( MB - PM = ND - PN \)
অর্থাৎ, \( PB = PD \)।
একইভাবে বড় অংশ দুটির ক্ষেত্রেও বলা যায়, \( PA = PC \)। কিন্তু আমাদের অপশনে প্রদত্ত সম্পর্কগুলোর মধ্যে সঠিক এবং যৌক্তিক সম্পর্কটি হলো \( PB = PD \) (অপশন ৩)।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১০১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ
পারিভাষিক শব্দ, যথার্থ অনুবাদ ও শিরোনাম
পারিভাষিক শব্দ, যথার্থ অনুবাদ ও শিরোনাম
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়)- রাষ্ট্রবিজ্ঞান
টপিকসঃ
মডেল টেস্ট – ২
পরীক্ষা শুরুঃ ১২ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-১৪
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
English: Conjunction, Article and Determiners, Same Word used and Different Parts of Speech, Interchange of Parts of Speech, Type of Sentence, Clause
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলি: আন্তর্জাতিক নিরাপত্তা ও আন্তঃরাষ্ট্রীয় ক্ষমতা সম্পর্ক: বৈশ্বিক দ্বন্দ্ব ও গুরুত্বপূর্ণ অঞ্চল, ন্যাটো ও অন্যান্য নিরাপত্তা জোট বাহিনী, বিভিন্ন গেরিলা ও জঙ্গি সংস্থা, বিদ্রোহী জোট এবং গোয়েন্দা, নিরাপত্তা ও অন্যান্য চুক্তি এবং চুক্তি সংক্রান্ত সনদ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলি: আন্তর্জাতিক নিরাপত্তা ও আন্তঃরাষ্ট্রীয় ক্ষমতা সম্পর্ক: বৈশ্বিক দ্বন্দ্ব ও গুরুত্বপূর্ণ অঞ্চল, ন্যাটো ও অন্যান্য নিরাপত্তা জোট বাহিনী, বিভিন্ন গেরিলা ও জঙ্গি সংস্থা, বিদ্রোহী জোট এবং গোয়েন্দা, নিরাপত্তা ও অন্যান্য চুক্তি এবং চুক্তি সংক্রান্ত সনদ
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০৪
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
রিভিশন পরীক্ষা - ০১:
পরীক্ষা ১, ২ ও ৩-এর পুরো সিলেবাস
পরীক্ষা ১, ২ ও ৩-এর পুরো সিলেবাস
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions