The sum of squares of 3 consecutive integers is less than 97. What is the greatest possible value of the smallest one?
Solution
Correct Answer: Option B
আমরা ধরি, তিনটি পরপর সংখ্যার সবচেয়ে ছোটটি হচ্ছে x।
তাহলে পরের দুইটি হবে — x+1 এবং x+2
এবার square করি:
x² + (x+1)² + (x+2)² < 97
⇒ x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) < 97
⇒ x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 < 97
⇒ 3x² + 6x + 5 < 97
⇒ 3x² + 6x + 5 - 97 < 0
⇒ 3x² + 6x - 92 < 0
এখন আমরা বের করি কোন x এর জন্য এই condition fulfill করে।
x = 3:
3(3)² + 6(3) - 92 = 3×9 + 18 - 92 = 27 + 18 - 92 = 45 - 92 = -47 < 0
x = 4:
3(4)² + 6(4) - 92 = 3×16 + 24 - 92 = 48 + 24 - 92 = 72 - 92 = -20 < 0
x = 5:
3(5)² + 6(5) - 92 = 3×25 + 30 - 92 = 75 + 30 - 92 = 105 - 92 = 13 > 0 [Not Valid]
তাই inequality টা x < 5 পর্যন্ত valid
সর্বোচ্চ integer যা satisfy করে সেটা হলো x = 4
তাহলে পরের দুইটি হবে — x+1 এবং x+2
এবার square করি:
x² + (x+1)² + (x+2)² < 97
⇒ x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) < 97
⇒ x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 < 97
⇒ 3x² + 6x + 5 < 97
⇒ 3x² + 6x + 5 - 97 < 0
⇒ 3x² + 6x - 92 < 0
এখন আমরা বের করি কোন x এর জন্য এই condition fulfill করে।
x = 3:
3(3)² + 6(3) - 92 = 3×9 + 18 - 92 = 27 + 18 - 92 = 45 - 92 = -47 < 0
x = 4:
3(4)² + 6(4) - 92 = 3×16 + 24 - 92 = 48 + 24 - 92 = 72 - 92 = -20 < 0
x = 5:
3(5)² + 6(5) - 92 = 3×25 + 30 - 92 = 75 + 30 - 92 = 105 - 92 = 13 > 0 [Not Valid]
তাই inequality টা x < 5 পর্যন্ত valid
সর্বোচ্চ integer যা satisfy করে সেটা হলো x = 4
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions