$\frac{১}{৩},\frac{১}{\sqrt{৩}},১$ ধারাটির কোন পদে ৯ হবে?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি: $\frac{১}{৩}, \frac{১}{\sqrt{৩}}, ১, \dots$
এখানে,
১ম পদ, $a = \frac{১}{৩}$
২য় পদ = $\frac{১}{\sqrt{৩}}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{২য় পদ}{১ম পদ}$
$= \frac{\frac{১}{\sqrt{৩}}}{\frac{১}{৩}}$
$= \frac{১}{\sqrt{৩}} \times \frac{৩}{১}$
$= \frac{(\sqrt{৩})^২}{\sqrt{৩}}$
$= \sqrt{৩}$
যেহেতু পাশাপাশি দুটি পদের অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$
ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $৯$
শর্তমতে,
$ar^{n-1} = ৯$
বা, $\frac{১}{৩} \times (\sqrt{৩})^{n-1} = ৯$ [a ও r এর মান বসিয়ে]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৯ \times ৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ২৭$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৩^৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^{২ \times ৩}$ [যেহেতু $৩ = (\sqrt{৩})^২$]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^৬$
বা, $n - ১ = ৬$ [উভয়পক্ষের ভিত্তি $\sqrt{৩}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = ৬ + ১$
$\therefore n = ৭$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে $৯$।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের ধারার ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাতটি ($r$) বের করে পরবর্তী পদগুলো গুণ করে সহজেই কাঙ্ক্ষিত পদে পৌঁছানো যায়।
এখানে, $r = \sqrt{৩}$ এবং ৩য় পদ = $১$
৪র্থ পদ = $১ \times \sqrt{৩} = \sqrt{৩}$
৫ম পদ = $\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩$
৬ষ্ঠ পদ = $৩ \times \sqrt{৩} = ৩\sqrt{৩}$
৭ম পদ = $৩\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩ \times ৩ = ৯$
সুতরাং, ৭ম পদটি হলো $৯$।
এখানে,
১ম পদ, $a = \frac{১}{৩}$
২য় পদ = $\frac{১}{\sqrt{৩}}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{২য় পদ}{১ম পদ}$
$= \frac{\frac{১}{\sqrt{৩}}}{\frac{১}{৩}}$
$= \frac{১}{\sqrt{৩}} \times \frac{৩}{১}$
$= \frac{(\sqrt{৩})^২}{\sqrt{৩}}$
$= \sqrt{৩}$
যেহেতু পাশাপাশি দুটি পদের অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$
ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $৯$
শর্তমতে,
$ar^{n-1} = ৯$
বা, $\frac{১}{৩} \times (\sqrt{৩})^{n-1} = ৯$ [a ও r এর মান বসিয়ে]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৯ \times ৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ২৭$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৩^৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^{২ \times ৩}$ [যেহেতু $৩ = (\sqrt{৩})^২$]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^৬$
বা, $n - ১ = ৬$ [উভয়পক্ষের ভিত্তি $\sqrt{৩}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = ৬ + ১$
$\therefore n = ৭$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে $৯$।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের ধারার ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাতটি ($r$) বের করে পরবর্তী পদগুলো গুণ করে সহজেই কাঙ্ক্ষিত পদে পৌঁছানো যায়।
এখানে, $r = \sqrt{৩}$ এবং ৩য় পদ = $১$
৪র্থ পদ = $১ \times \sqrt{৩} = \sqrt{৩}$
৫ম পদ = $\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩$
৬ষ্ঠ পদ = $৩ \times \sqrt{৩} = ৩\sqrt{৩}$
৭ম পদ = $৩\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩ \times ৩ = ৯$
সুতরাং, ৭ম পদটি হলো $৯$।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 78
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Math
Probability, Permutation and Combination
Probability, Permutation and Combination
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৬৭
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলী
বাংলাদেশের জাতি, গোষ্ঠী ও উপজাতি, বাংলাদেশের জাতীয় অর্জন, গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তি, প্রতিষ্ঠান ও স্থাপনাসমূহ, জাতীয় পুরস্কার, বাংলাদেশের খেলাধুলাসহ চলচ্চিত্র এবং গণমাধ্যম।
বাংলাদেশের জাতি, গোষ্ঠী ও উপজাতি, বাংলাদেশের জাতীয় অর্জন, গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তি, প্রতিষ্ঠান ও স্থাপনাসমূহ, জাতীয় পুরস্কার, বাংলাদেশের খেলাধুলাসহ চলচ্চিত্র এবং গণমাধ্যম।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
ভগ্নাংশ
ভগ্নাংশ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions