x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

চলো এই মজার অঙ্কটা আমরা খুব সহজে ধাপে ধাপে সমাধান করি। এই ধরনের বৃত্তের সমীকরণ থেকে ব্যাসার্ধ বের করার জন্য আমাদের বর্গের সূত্র বা Perfect Square-এর ধারণা ব্যবহার করতে হবে, যা তোমরা বীজগণিতে শিখেছ।
আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো: $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$
প্রথমে আমরা $x$ এবং $y$ এর পদগুলোকে একসাথে সাজাই এবং সংখ্যাটিকে সমীকরণের ডানপাশে নিয়ে যাই:
- $(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = 24$
এখন আমাদের মূল কাজ হলো ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশগুলোকে $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রে সাজানো। এর জন্য আমাদের কিছু অতিরিক্ত সংখ্যা যোগ করতে হবে:
- $x$ এর অংশের জন্য: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $3^2$ বা $9$ যোগ করতে হবে।
- $y$ এর অংশের জন্য: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $4^2$ বা $16$ যোগ করতে হবে।
যেহেতু সমীকরণের ব্যালেন্স বা ভারসাম্য ঠিক রাখতে হয়, তাই আমরা বামপাশে যে $9$ এবং $16$ যোগ করেছি, ডানপাশেও ঠিক সেই সংখ্যাগুলো যোগ করে দিব:
- $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 24 + 9 + 16$
এবার আমরা এদেরকে বর্গের সূত্রে লিখে ফেলি:
- $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$
আমরা জানি, একটি বৃত্তের জ্যামিতিক আদর্শ সমীকরণ হলো $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, যেখানে ডানপাশের $r$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
আমাদের বের করা সমীকরণের সাথে এই আদর্শ সমীকরণটি তুলনা করলে আমরা পাই:
- $r^2 = 49$
- $r = \sqrt{49} = 7$
সুতরাং, এই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে ৭। তাই সঠিক উত্তর অপশন 2।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।