৪, ৯, ১৪, .... সমান্তর ধারাটির কতগুলো পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে?

এখানে দেওয়া আছে একটি সমান্তর ধারা: ৪, ৯, ১৪, ....
সমান্তর ধারার অংকগুলো সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে ধারার প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর বের করে নিতে হয়।
- প্রথম পদ ($a$) = $4$
- সাধারণ অন্তর ($d$) = দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = $9 - 4 = 5$
- ধরি, ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$) = $378$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো: $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$
এখন এই সূত্রে মানগুলো বসিয়ে দিই:
$378 = \frac{n}{2} \{2 \times 4 + (n-1)5\}$
$378 \times 2 = n \{8 + 5n - 5\}$
$756 = n(5n + 3)$
$5n^2 + 3n - 756 = 0$
এখন এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Middle term) করতে হবে।
$5n^2 + 63n - 60n - 756 = 0$
$n(5n + 63) - 12(5n + 63) = 0$
$(5n + 63)(n - 12) = 0$
এখান থেকে আমরা দুটি মান পাই, $n = 12$ অথবা $5n + 63 = 0 \Rightarrow n = -\frac{63}{5}$।
যেহেতু পদের সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক (negative) বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = 12$ হবে সঠিক উত্তর।
অর্থাৎ, ধারাটির ১২টি পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে।

মজার কৌশল (Option Test):
পরীক্ষার হলে এতো বড় সমীকরণ সমাধান না করে আমরা সরাসরি অপশন থেকেও উত্তর বের করতে পারি।
যদি অপশন ১ থেকে $n = 12$ ধরি, তবে সমষ্টি হবে: $\frac{12}{2} \{2 \times 4 + (12-1) \times 5\} = 6 \times (8 + 55) = 6 \times 63 = 378$।
খুব সহজেই মিলে গেলো! তাই সঠিক উত্তর ১২।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।