$\frac{1}{x - 3}+ \frac{1}{x - 4}= \frac{1}{x - 2}+ \frac{1}{x - 5}$ হলে, x এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{1}{x - 3}+ \frac{1}{x - 4}= \frac{1}{x - 2}+ \frac{1}{x - 5}$
এই ধরনের অংকগুলো সহজে সমাধান করার জন্য আমরা সমীকরণের পদগুলোকে একটু সাজিয়ে নিতে পারি। চলো, ধাপে ধাপে অংকটি সমাধান করি।
বিস্তারিত সমাধান:
- প্রথমে বাম পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ ডান পাশে এবং ডান পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বাম পাশে নিয়ে আসি (যাতে হিসাবের সুবিধা হয়):
$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 4}$
- এবার সমীকরণের উভয় পাশে লসাগু (L.C.M) করে বিয়োগ করি:
$\frac{(x - 2) - (x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{(x - 4) - (x - 5)}{(x - 5)(x - 4)}$
- উপরের বন্ধনী তুলে দিয়ে যোগ-বিয়োগ করলে দাঁড়ায়:
$\frac{x - 2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3x + 6} = \frac{x - 4 - x + 5}{x^2 - 4x - 5x + 20}$
- লবের কাটাকাটি শেষে উভয় পাশেই ১ অবশিষ্ট থাকে:
$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{x^2 - 9x + 20}$
- যেহেতু উভয় ভগ্নাংশের লব সমান (১), তাই সমীকরণটি সত্য হতে হলে তাদের হরগুলোও অবশ্যই সমান হতে হবে। তাই আমরা আড়াআড়ি গুণ করে লিখতে পারি:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 9x + 20$
- উভয় পাশ থেকে $x^2$ বাদ দিলে সমীকরণটি ছোট হয়ে যায়:
$- 5x + 6 = - 9x + 20$
- এবার $x$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং সংখ্যাগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$9x - 5x = 20 - 6$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4}$
$x = 3.5$
শর্টকাট বা ম্যাজিক নিয়ম:
যখন কোনো সমীকরণের ভগ্নাংশগুলোর লব ১ হয় এবং বামপাশের হরগুলোর যোগফল ও ডানপাশের হরগুলোর যোগফল একদম সমান হয়, তখন সেই যোগফল সমান শূন্য (০) ধরলেই খুব দ্রুত $x$-এর মান বের হয়ে যায়।
- বামপাশের হরের যোগফল = $(x - 3) + (x - 4) = 2x - 7$
- ডানপাশের হরের যোগফল = $(x - 2) + (x - 5) = 2x - 7$
যেহেতু উভয় পাশের হরের যোগফল সমান, তাই আমরা লিখতে পারি:
$2x - 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 3.5।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
এই ধরনের অংকগুলো সহজে সমাধান করার জন্য আমরা সমীকরণের পদগুলোকে একটু সাজিয়ে নিতে পারি। চলো, ধাপে ধাপে অংকটি সমাধান করি।
বিস্তারিত সমাধান:
- প্রথমে বাম পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ ডান পাশে এবং ডান পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বাম পাশে নিয়ে আসি (যাতে হিসাবের সুবিধা হয়):
$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 4}$
- এবার সমীকরণের উভয় পাশে লসাগু (L.C.M) করে বিয়োগ করি:
$\frac{(x - 2) - (x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{(x - 4) - (x - 5)}{(x - 5)(x - 4)}$
- উপরের বন্ধনী তুলে দিয়ে যোগ-বিয়োগ করলে দাঁড়ায়:
$\frac{x - 2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3x + 6} = \frac{x - 4 - x + 5}{x^2 - 4x - 5x + 20}$
- লবের কাটাকাটি শেষে উভয় পাশেই ১ অবশিষ্ট থাকে:
$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{x^2 - 9x + 20}$
- যেহেতু উভয় ভগ্নাংশের লব সমান (১), তাই সমীকরণটি সত্য হতে হলে তাদের হরগুলোও অবশ্যই সমান হতে হবে। তাই আমরা আড়াআড়ি গুণ করে লিখতে পারি:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 9x + 20$
- উভয় পাশ থেকে $x^2$ বাদ দিলে সমীকরণটি ছোট হয়ে যায়:
$- 5x + 6 = - 9x + 20$
- এবার $x$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং সংখ্যাগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$9x - 5x = 20 - 6$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4}$
$x = 3.5$
শর্টকাট বা ম্যাজিক নিয়ম:
যখন কোনো সমীকরণের ভগ্নাংশগুলোর লব ১ হয় এবং বামপাশের হরগুলোর যোগফল ও ডানপাশের হরগুলোর যোগফল একদম সমান হয়, তখন সেই যোগফল সমান শূন্য (০) ধরলেই খুব দ্রুত $x$-এর মান বের হয়ে যায়।
- বামপাশের হরের যোগফল = $(x - 3) + (x - 4) = 2x - 7$
- ডানপাশের হরের যোগফল = $(x - 2) + (x - 5) = 2x - 7$
যেহেতু উভয় পাশের হরের যোগফল সমান, তাই আমরা লিখতে পারি:
$2x - 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 3.5।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 105
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Bangla
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০১
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সমাজবিজ্ঞানের পরিচিতি:
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions