$\frac{1}{x - 3}+ \frac{1}{x - 4}= \frac{1}{x - 2}+ \frac{1}{x - 5}$ হলে, x এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{1}{x - 3}+ \frac{1}{x - 4}= \frac{1}{x - 2}+ \frac{1}{x - 5}$
এই ধরনের অংকগুলো সহজে সমাধান করার জন্য আমরা সমীকরণের পদগুলোকে একটু সাজিয়ে নিতে পারি। চলো, ধাপে ধাপে অংকটি সমাধান করি।
বিস্তারিত সমাধান:
- প্রথমে বাম পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ ডান পাশে এবং ডান পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বাম পাশে নিয়ে আসি (যাতে হিসাবের সুবিধা হয়):
$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 4}$
- এবার সমীকরণের উভয় পাশে লসাগু (L.C.M) করে বিয়োগ করি:
$\frac{(x - 2) - (x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{(x - 4) - (x - 5)}{(x - 5)(x - 4)}$
- উপরের বন্ধনী তুলে দিয়ে যোগ-বিয়োগ করলে দাঁড়ায়:
$\frac{x - 2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3x + 6} = \frac{x - 4 - x + 5}{x^2 - 4x - 5x + 20}$
- লবের কাটাকাটি শেষে উভয় পাশেই ১ অবশিষ্ট থাকে:
$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{x^2 - 9x + 20}$
- যেহেতু উভয় ভগ্নাংশের লব সমান (১), তাই সমীকরণটি সত্য হতে হলে তাদের হরগুলোও অবশ্যই সমান হতে হবে। তাই আমরা আড়াআড়ি গুণ করে লিখতে পারি:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 9x + 20$
- উভয় পাশ থেকে $x^2$ বাদ দিলে সমীকরণটি ছোট হয়ে যায়:
$- 5x + 6 = - 9x + 20$
- এবার $x$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং সংখ্যাগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$9x - 5x = 20 - 6$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4}$
$x = 3.5$
শর্টকাট বা ম্যাজিক নিয়ম:
যখন কোনো সমীকরণের ভগ্নাংশগুলোর লব ১ হয় এবং বামপাশের হরগুলোর যোগফল ও ডানপাশের হরগুলোর যোগফল একদম সমান হয়, তখন সেই যোগফল সমান শূন্য (০) ধরলেই খুব দ্রুত $x$-এর মান বের হয়ে যায়।
- বামপাশের হরের যোগফল = $(x - 3) + (x - 4) = 2x - 7$
- ডানপাশের হরের যোগফল = $(x - 2) + (x - 5) = 2x - 7$
যেহেতু উভয় পাশের হরের যোগফল সমান, তাই আমরা লিখতে পারি:
$2x - 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 3.5।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
এই ধরনের অংকগুলো সহজে সমাধান করার জন্য আমরা সমীকরণের পদগুলোকে একটু সাজিয়ে নিতে পারি। চলো, ধাপে ধাপে অংকটি সমাধান করি।
বিস্তারিত সমাধান:
- প্রথমে বাম পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ ডান পাশে এবং ডান পাশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বাম পাশে নিয়ে আসি (যাতে হিসাবের সুবিধা হয়):
$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 4}$
- এবার সমীকরণের উভয় পাশে লসাগু (L.C.M) করে বিয়োগ করি:
$\frac{(x - 2) - (x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{(x - 4) - (x - 5)}{(x - 5)(x - 4)}$
- উপরের বন্ধনী তুলে দিয়ে যোগ-বিয়োগ করলে দাঁড়ায়:
$\frac{x - 2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3x + 6} = \frac{x - 4 - x + 5}{x^2 - 4x - 5x + 20}$
- লবের কাটাকাটি শেষে উভয় পাশেই ১ অবশিষ্ট থাকে:
$\frac{1}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{x^2 - 9x + 20}$
- যেহেতু উভয় ভগ্নাংশের লব সমান (১), তাই সমীকরণটি সত্য হতে হলে তাদের হরগুলোও অবশ্যই সমান হতে হবে। তাই আমরা আড়াআড়ি গুণ করে লিখতে পারি:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 9x + 20$
- উভয় পাশ থেকে $x^2$ বাদ দিলে সমীকরণটি ছোট হয়ে যায়:
$- 5x + 6 = - 9x + 20$
- এবার $x$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং সংখ্যাগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$9x - 5x = 20 - 6$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4}$
$x = 3.5$
শর্টকাট বা ম্যাজিক নিয়ম:
যখন কোনো সমীকরণের ভগ্নাংশগুলোর লব ১ হয় এবং বামপাশের হরগুলোর যোগফল ও ডানপাশের হরগুলোর যোগফল একদম সমান হয়, তখন সেই যোগফল সমান শূন্য (০) ধরলেই খুব দ্রুত $x$-এর মান বের হয়ে যায়।
- বামপাশের হরের যোগফল = $(x - 3) + (x - 4) = 2x - 7$
- ডানপাশের হরের যোগফল = $(x - 2) + (x - 5) = 2x - 7$
যেহেতু উভয় পাশের হরের যোগফল সমান, তাই আমরা লিখতে পারি:
$2x - 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 3.5।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions