log₁₀(x + 6) - log₁₀(x + 2) = logx হলে, x এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
ধাপ ১: লগারিদমের বিয়োগের সূত্র প্রয়োগ
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions