log₁₀(x + 6) - log₁₀(x + 2) = logx হলে, x এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
ধাপ ১: লগারিদমের বিয়োগের সূত্র প্রয়োগ
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৩২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১২
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়)- হিসাববিজ্ঞান
টপিকসঃ
করবিধি (Taxation)
১২ মে, ২০২৬ থেকে পরীক্ষা শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions