log₁₀(x + 6) - log₁₀(x + 2) = logx হলে, x এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option A
ধাপ ১: লগারিদমের বিয়োগের সূত্র প্রয়োগ
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, logₐ(m) - logₐ(n) = logₐ(m/n)। এই সূত্রটি সমীকরণের বাম পক্ষে প্রয়োগ করে পাই:
log₁₀((x + 6) / (x + 2)) = logx
ধাপ ২: উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম অপসারণ
যেহেতু সমীকরণের উভয় পক্ষে লগারিদমের ভিত্তি একই (এখানে ১০), আমরা উভয় পক্ষ থেকে লগারিদম তুলে দিতে পারি। এর ফলে আমরা পাই:
(x + 6) / (x + 2) = x
ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান
এখন আমরা একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ পেয়েছি। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য:
x(x + 2) = x + 6
x² + 2x = x + 6
x² + 2x - x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0
ধাপ ৪: দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:
x² + 3x - 2x - 6 = 0
x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
এখান থেকে আমরা x এর দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 2 = 0 => x = 2
ধাপ ৫: সমাধান যাচাই
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, লগারিদমের আর্গুমেন্ট (অর্থাৎ যে সংখ্যার লগারিদম নেওয়া হচ্ছে) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে। তাই আমাদের প্রাপ্ত x এর মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে কিনা।
যদি x = -3 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(-3 + 6) = log₁₀(3) এবং log₁₀(x + 2) = log₁₀(-3 + 2) = log₁₀(-1)। যেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই x = -3 গ্রহণযোগ্য সমাধান নয়।
যদি x = 2 হয়, তাহলে log₁₀(x + 6) = log₁₀(2 + 6) = log₁₀(8), log₁₀(x + 2) = log₁₀(2 + 2) = log₁₀(4) এবং logx = log(2)। সবগুলো আর্গুমেন্টই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বৈধ সমাধান।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হলো x = 2।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 105
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Bangla
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০১
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সমাজবিজ্ঞানের পরিচিতি:
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions