দুটি ধনাত্মক বর্গের অন্তর ১১ এবং তাদের গুণফল ৩০ হলে সংখ্যা দুটি কত?
Solution
Correct Answer: Option A
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y, যেখানে x > y।
প্রশ্নমতে,
সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর, x² - y² = ১১ ........... (i)
এবং সংখ্যা দুটির গুণফল, xy = ৩০ .......... (ii)
আমরা জানি,
(x² + y²)² = (x² - y²)² + 4x²y²
বা, (x² + y²)² = (x² - y²)² + 4(xy)²
বা, (x² + y²)² = (১১)² + ৪(৩০)² [মান বসিয়ে]
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৪ × ৯০০
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৩৬০০
বা, (x² + y²)² = ৩৭২১
বা, x² + y² = √৩৭২১
∴ x² + y² = ৬১ .......... (iii)
এখন, সমীকরণ (iii) ও (i) যোগ করে পাই,
x² + y² + x² - y² = ৬১ + ১১
বা, 2x² = ৭২
বা, x² = ৭২ / ২
বা, x² = ৩৬
∴ x = ৬ [বর্গমূল করে]
আবার, সমীকরণ (ii) হতে পাই,
৬y = ৩০
বা, y = ৩০ / ৬
∴ y = ৫
সুতরাং, সংখ্যা দুটি ৬ ও ৫।
বিকল্প বা শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য):
প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যা দুটির গুণফল ৩০। অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখি কোন জোড়ার গুণফল ৩০ এবং বর্গের অন্তর ১১।
অপশন ১: ৬ ও ৫
গুণফল: ৬ × ৫ = ৩০ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
বর্গের অন্তর: ৬² - ৫² = ৩৬ - ২৫ = ১১ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
যেহেতু দুটি শর্তই মিলে গেছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অপশন ২: ৬ ও ৪
গুণফল: ৬ × ৪ = ২৪ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৩: ৩ ও ৫
গুণফল: ৩ × ৫ = ১৫ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৪: ৫ ও ৪
গুণফল: ৫ × ৪ = ২০ (শর্ত পূরণ হয়নি)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ৬ ও ৫।
প্রশ্নমতে,
সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর, x² - y² = ১১ ........... (i)
এবং সংখ্যা দুটির গুণফল, xy = ৩০ .......... (ii)
আমরা জানি,
(x² + y²)² = (x² - y²)² + 4x²y²
বা, (x² + y²)² = (x² - y²)² + 4(xy)²
বা, (x² + y²)² = (১১)² + ৪(৩০)² [মান বসিয়ে]
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৪ × ৯০০
বা, (x² + y²)² = ১২১ + ৩৬০০
বা, (x² + y²)² = ৩৭২১
বা, x² + y² = √৩৭২১
∴ x² + y² = ৬১ .......... (iii)
এখন, সমীকরণ (iii) ও (i) যোগ করে পাই,
x² + y² + x² - y² = ৬১ + ১১
বা, 2x² = ৭২
বা, x² = ৭২ / ২
বা, x² = ৩৬
∴ x = ৬ [বর্গমূল করে]
আবার, সমীকরণ (ii) হতে পাই,
৬y = ৩০
বা, y = ৩০ / ৬
∴ y = ৫
সুতরাং, সংখ্যা দুটি ৬ ও ৫।
বিকল্প বা শর্টকাট পদ্ধতি (পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য):
প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যা দুটির গুণফল ৩০। অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখি কোন জোড়ার গুণফল ৩০ এবং বর্গের অন্তর ১১।
অপশন ১: ৬ ও ৫
গুণফল: ৬ × ৫ = ৩০ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
বর্গের অন্তর: ৬² - ৫² = ৩৬ - ২৫ = ১১ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
যেহেতু দুটি শর্তই মিলে গেছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অপশন ২: ৬ ও ৪
গুণফল: ৬ × ৪ = ২৪ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৩: ৩ ও ৫
গুণফল: ৩ × ৫ = ১৫ (শর্ত পূরণ হয়নি)
অপশন ৪: ৫ ও ৪
গুণফল: ৫ × ৪ = ২০ (শর্ত পূরণ হয়নি)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ৬ ও ৫।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions