দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ১৮১ এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল ৯০ হলে সংখ্যা দুইটি কত?
Solution
Correct Answer: Option B
ধরি, সংখ্যা দুইটি $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x^2 + y^2 = 181$ ........... (i)
এবং $xy = 90$ ........... (ii)
আমরা জানি,
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
বা, $(x + y)^2 = 181 + 2 \times 90$ [মান বসিয়ে]
বা, $(x + y)^2 = 181 + 180$
বা, $(x + y)^2 = 361$
বা, $x + y = \sqrt{361}$
$\therefore x + y = 19$ ........... (iii)
আবার,
$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
বা, $(x - y)^2 = 181 - 2 \times 90$
বা, $(x - y)^2 = 181 - 180$
বা, $(x - y)^2 = 1$
বা, $x - y = \sqrt{1}$
$\therefore x - y = 1$ ........... (iv)
এখন, (iii) ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$x + y + x - y = 19 + 1$
বা, $2x = 20$
বা, $x = \frac{20}{2}$
$\therefore x = 10$
আবার, (iii) থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
$x + y - (x - y) = 19 - 1$
বা, $x + y - x + y = 18$
বা, $2y = 18$
বা, $y = \frac{18}{2}$
$\therefore y = 9$
সুতরাং, সংখ্যা দুইটি ১০ এবং ৯।
শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য অপশনগুলোর দিকে লক্ষ্য করুন। প্রশ্নানুসারে সংখ্যা দুইটির গুণফল $90$ হতে হবে।
১. $5 \times 18 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
২. $10 \times 9 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
৩. $2 \times 45 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
৪. $6 \times 15 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
যেহেতু সবগুলোর গুণফল $90$, তাই এবার দেখতে হবে কোন অপশনের সংখ্যা দুইটির বর্গের যোগফল $181$ হয়।
অপশন ১: $5^2 + {18}^2 = 25 + 324 = 349$ (মিলছে না)
অপশন ২: ${10}^2 + 9^2 = 100 + 81 = 181$ (প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ১০, ৯।
প্রশ্নানুসারে,
$x^2 + y^2 = 181$ ........... (i)
এবং $xy = 90$ ........... (ii)
আমরা জানি,
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
বা, $(x + y)^2 = 181 + 2 \times 90$ [মান বসিয়ে]
বা, $(x + y)^2 = 181 + 180$
বা, $(x + y)^2 = 361$
বা, $x + y = \sqrt{361}$
$\therefore x + y = 19$ ........... (iii)
আবার,
$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
বা, $(x - y)^2 = 181 - 2 \times 90$
বা, $(x - y)^2 = 181 - 180$
বা, $(x - y)^2 = 1$
বা, $x - y = \sqrt{1}$
$\therefore x - y = 1$ ........... (iv)
এখন, (iii) ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$x + y + x - y = 19 + 1$
বা, $2x = 20$
বা, $x = \frac{20}{2}$
$\therefore x = 10$
আবার, (iii) থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
$x + y - (x - y) = 19 - 1$
বা, $x + y - x + y = 18$
বা, $2y = 18$
বা, $y = \frac{18}{2}$
$\therefore y = 9$
সুতরাং, সংখ্যা দুইটি ১০ এবং ৯।
শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য অপশনগুলোর দিকে লক্ষ্য করুন। প্রশ্নানুসারে সংখ্যা দুইটির গুণফল $90$ হতে হবে।
১. $5 \times 18 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
২. $10 \times 9 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
৩. $2 \times 45 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
৪. $6 \times 15 = 90$ (শর্ত পূরণ করে)
যেহেতু সবগুলোর গুণফল $90$, তাই এবার দেখতে হবে কোন অপশনের সংখ্যা দুইটির বর্গের যোগফল $181$ হয়।
অপশন ১: $5^2 + {18}^2 = 25 + 324 = 349$ (মিলছে না)
অপশন ২: ${10}^2 + 9^2 = 100 + 81 = 181$ (প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ১০, ৯।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions